a) Wyznaczmy wysokość trójkąta ABC poprowadzoną z wierzchołka kąta C.

$\frac{h}{\left|AC\right|}=\sin {60}^{\circ }$  

$\frac{h}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$  

$h=2\sqrt{3}$  

 

Obliczmy pole trójkąta ABC.

$P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot \left|AB\right|\cdot h$  

$P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2\sqrt{3}$  

$P_{ABC}=4\sqrt{3}\left[{\text{cm}}^2\right]$  

 

Zauważmy, że:

$4\sqrt{3}\approx 4\cdot 1,73<4\cdot 2=8$  

 

Zatem pokazaliśmy, że pole trójkąta ABC jest mniejsze niż 10 cm².

---

b) Wyznaczmy miarę kąta ostrego tego trójkąta.

${180}^{\circ }-{120}^{\circ }={60}^{\circ }$  

${60}^{\circ }:2={30}^{\circ }$  

Miara kąta ostrego tego trójkąta wynosi 30^o.

Z funkcji trygonometrycznych mamy:

$\frac{\frac{1}{2}\left|BC\right|}{a}=\cos {30}^{\circ }$  

$\frac{\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{3}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$  

$\frac{2\sqrt{3}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$  

$2\sqrt{3}\cdot 2=a\cdot \sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$  

$4=a$  

 

Obliczmy obwód trójkąta ABC.

$L_{ABC}=4+4+4\sqrt{3}$  

$L_{ABC}=8+4\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$  

 

Zauważmy, że:

$8+4\sqrt{3}\approx 8+4\cdot 1,73=8+6,92=14,92<15$  

 

Zatem pokazaliśmy, że obwód trójkąta ABC jest mniejszy niż 15 cm.