Szacujemy wyraz pod pierwiastkiem. 

$\sqrt[n]{5^n}<\sqrt[n]{5^n+2^n}<\sqrt[n]{5^n+5^n}$  

$\sqrt[n]{5^n}<\sqrt[n]{5^n+2^n}<\sqrt[n]{2\cdot 5^n}$  

Obliczamy granice.

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{5^n}=\underset{n\to \infty }{\lim }5=5$  

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{2\cdot 5^n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{2}\cdot \sqrt[n]{5^n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{2}\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }5=1\cdot 5=5$  

Z twierdzenia o trzech ciągach wynika, że: 

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{5^n+2^n}=5$