a) Przyjmijmy, że:

$a_1=m_0\cdot \frac{1}{2}\left[\text{g}\right]$  (masa izotopu po upływie jednego okresu połowicznego rozpadu)

$a_2=m_0\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\left[\text{g}\right]$  (masa izotopu po upływie dwóch okresów połowicznego rozpadu)

...

Masa pierwiastka zmniejsza się o połowę, więc: 

$q=\frac{1}{2}$  

Wyznaczamy wzór ogólny tego ciągu:

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$  

$a_n=m_0\cdot \frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$  

$a_n=m_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{1+n-1}$  

$a_n=m_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^n$  

---

b) Przyjmijmy, że:

$a_1=0,4\left[\text{mg}\right]$  (masa izotopu po upływie pięciu okresów połowicznego rozpadu)

$a_2=0,4\cdot 2\left[\text{mg}\right]$  (masa izotopu po upływie czterech okresów połowicznego rozpadu)

...

Masa pierwiastka zwiększa się dwukrotnie, więc:

$q=2$  

Obliczamy, ile okresów połowicznego rozpadu nastąpiło w tym czasie.

Wyznaczamy wzór ogólny tego ciągu:

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$  

$a_n=0,4\cdot 2^{n-1}$  

$a_n=0,2\cdot 2\cdot 2^{n-1}$  

$a_n=0,2\cdot 2^{1+n-1}$  

$a_n=0,2\cdot 2^n$  

Masa tej próbki 40 dni wcześniej wynosiła:

$a_6=0,2\cdot 2^6=0,2\cdot 64=12,8\left[\text{mg}\right]$