a)   $c_n:13,7,\frac{2}{7},13,3,\frac{5}{7},12,9,1\frac{1}{7},\dots ,8,1,6\frac{2}{7}$  

Podany ciąg "rozbijemy" na dwa ciągi:

$a_n:13,7,13,3,12,9,\dots ,8,1,6\frac{2}{7}$  

$b_n:\frac{2}{7},\frac{5}{7},1\frac{1}{7},\dots ,6\frac{2}{7}$  

Różnice tych ciągów są równe:

$r_a=a_2-a_1=13,3-13,7=-0,4$  

$r_b=b_2-b_1=\frac{5}{7}-\frac{2}{7}=-\frac{3}{7}$  

Wyznaczamy wzory ogólne tych ciągów.

$a_n=a_1+\left(n-1\right)\cdot r_a$  

$a_n=13,7+\left(n-1\right)\cdot \left(-0,4\right)$  

$a_n=13,7-0,4n+0,4$  

$a_n=-0,4n+14,1$  

$b_n=b_1+\left(n-1\right)\cdot r_b$  

$b_n=\frac{2}{7}+\left(n-1\right)\cdot \left(-\frac{3}{7}\right)$  

$b_n=\frac{2}{7}-\frac{3}{7}n+\frac{3}{7}$  

$b_n=-\frac{3}{7}n+\frac{5}{7}$  

Obliczamy, którym wyrazem ciągu $\left(a_n\right)$  jest liczba 8,1.

$8,1=-0,4n+14,1\mid \cdot 10$  

$81=-4n+141\mid +4n$  

$4n+81=141\mid -81$  

$4n=60$  

$n=15$  

Ciąg $\left(a_n\right)$  składa się z 15 wyrazów.

W ciągu $\left(c_n\right)$  wyrazy ciągów  $\left(a_n\right)$  i $\left(b_n\right)$  występują naprzemiennie, więc wyrazów ciągu  $\left(b_n\right)$  również jest 15.

Obliczamy sumy wyrazów tych ciągów:

$S^a=\frac{a_1+a_{15}}{2}\cdot 15=\frac{13,7+8,1}{2}\cdot 15=\frac{21,8}{2}\cdot 15=10,9\cdot 15=163,5$  

$S^b=\frac{b_1+b_{15}}{2}\cdot 15=\frac{\frac{2}{7}+6\frac{2}{7}}{2}\cdot 15=\frac{6\frac{4}{7}}{2}\cdot 15=\frac{23}{7}\cdot 15=49\frac{2}{7}$  

Obliczamy sumę wyrazów podanego ciągu:

$S=S^a+S^b=163,5+49\frac{2}{7}=163\frac{1}{2}+49\frac{2}{7}=163\frac{7}{14}+49\frac{4}{14}=212\frac{11}{14}$  

---

b)  Wyrazy tego ciągu połączmy w pary:

$\left(12-7\right)+\left(10-4\right)+\left(8-1\right)+\left(6+2\right)+\left(4+5\right)+\dots +\left(-20+41\right)$  

Mamy więc:

$5+6+7+8+9+\dots +21$  

Różnica tego ciągu jest równa:

$r=1$  

Wyznaczamy wzór ogólny tego ciągu.

$a_n=a_1+\left(n-1\right)\cdot r$  

$a_n=5+\left(n-1\right)\cdot 1$  

$a_n=5+n-1$  

$a_n=n+4$  

Obliczamy, którym wyrazem tego ciągu jest liczba 21.

$21=n+4\mid -4$  

$17=n$  

Ciąg ten składa się z 17 wyrazów.

Obliczamy sumę wyrazów tego ciągu:

$S_{17}=\frac{a_1+a_{17}}{2}\cdot 17=\frac{5+21}{2}\cdot 17=\frac{26}{2}\cdot 17=13\cdot 17=221$  

---

c) Wyrazy tego ciągu połączmy w pary:

$\left(-129-6\right)+\left(-123-11\right)+\left(-117-16\right)+\left(-111-21\right)+\left(4+5\right)+\dots +\left(-69-56\right)$  

Mamy więc:

$-135+\left(-134\right)+\left(-133\right)+\dots +\left(-125\right)$  

Różnica tego ciągu jest równa:

$r=1$  

Wyznaczamy wzór ogólny tego ciągu.

$a_n=a_1+\left(n-1\right)\cdot r$  

$a_n=-135+\left(n-1\right)\cdot 1$  

$a_n=-135+n-1$  

$a_n=n-136$  

Obliczamy, którym wyrazem tego ciągu jest liczba -125.

$-125=n-136\mid +136$  

$11=n$  

Ciąg ten składa się z 11 wyrazów.

Obliczamy sumę wyrazów tego ciągu:

$S_{11}=\frac{a_1+a_{11}}{2}\cdot 11=\frac{-135+\left(-125\right)}{2}\cdot 11=\frac{-135-125}{2}\cdot 11=\frac{-260}{2}\cdot 11=-130\cdot 11=-1430$