Określ dziedzinę wyrażenia wymiernego ...- Zadanie 1: Matematyka z plusem 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

a) Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 \neq = 0$

$x^{2} (x - 2) + 4 (x - 2) \neq = 0$

$(x - 2) (x^{2} + 4) \neq = 0$

$x - 2 \neq = 0 \land x^{2} + 4 \neq = 0$

$x \neq = 2 \land x^{2} \neq = - 4$

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną.

Zatem:

$D = R \ {2}$

Upraszczamy dane wyrażenie.

$\frac{x ^{4} - 16}{x ^{3} - 2 x ^{2} + 4 x - 8} = \frac{( x ^{2} - 4 ) ( x ^{2} + 4 )}{( x - 2 ) ( x ^{2} + 4 )} = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x - 2} = x + 2$

b) Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$x^{4} + 2 x^{3} + 4 x^{2} \neq = 0$

$x^{2} (x^{2} + 2 x + 4) \neq = 0$

$x^{2} \neq = 0 \land x^{2} + 2 x + 4 \neq = 0$

$x \neq = 0 \land x^{2} + 2 x + 4 \neq = 0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$Δ = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = - 12$

Ponieważ $Δ < 0,$ to wyrażenie $x^{2} + 2 x + 4$ nie przyjmuje wartości 0.

Zatem:

$D = R \ {0}$

Uprościmy dane wyrażenie. Skorzystamy przy tym m. in. ze wzoru na różnicę sześcianów.

$\frac{x ^{6} - 8 x ^{3}}{x ^{4} + 2 x ^{3} + 4 x ^{2}} = \frac{x ^{3} ( x ^{3} - 8 )}{x ^{2} ( x ^{2} + 2 x + 4 )} = \frac{x ^{3} ( x ^{3} - 2 ^{3} )}{x ^{2} ( x ^{2} + 2 x + 4 )} = \frac{x ( x - 2 ) ( x ^{2} + 2 x + 4 )}{x ^{2} + 2 x + 4} = x (x - 2)$