Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

 

Korzystamy ze wzoru na długość wysokości trójkąta równobocznego i wyznaczamy długość h.

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  

Trójkąty zaznaczone na drugim rysunku są podobne (cecha kąt-kąt-kąt). Z podobieństwa tych trójkątów otrzymujemy, że:

$\left(1\right)\frac{x}{a}=\frac{\frac{2}{3}a}{a}$  

$\frac{x}{a}=\frac{2}{3}\mid \cdot a$  

$x=\frac{2}{3}a$  

$\left(2\right)\frac{z}{h}=\frac{\frac{2}{3}a}{a}$  

$\frac{z}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{3}\mid \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}$  

$z=\frac{a\sqrt{3}}{3}$  

Korzystamy z twierdzenia cosinusów i wyznaczamy cos 𝛼.

$h^2=h^2+a^2-2\cdot h\cdot a\cdot \cos \alpha$  

${\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2={\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2+a^2-2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot a\cdot \cos \alpha$  

$\frac{3a^2}{4}=\frac{3a^2}{4}+a^2-\sqrt{3}{a}^2\cdot \cos \alpha \mid -\frac{3a^2}{4}$  

$0=a^2-\sqrt{3}{a}^2\cdot \cos \alpha \mid -a^2$  

$-a^2=-\sqrt{3}{a}^2\cdot \cos \alpha \mid :(-\sqrt{3}{a}^2$  

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\cos \alpha$  

$\frac{\sqrt{3}}{3}=\cos \alpha$  

Korzystamy z twierdzenia cosinusów i wyznaczamy długość y.

$y^2=z^2+{\left(\frac{1}{3}a\right)}^2-2\cdot z\cdot \frac{1}{3}a\cdot \cos \alpha$  

$y^2={\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2+{\left(\frac{1}{3}a\right)}^2-2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{1}{3}a\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$  

$y^2=\frac{3a^2}{9}+\frac{a^2}{9}-\frac{6a^2}{27}$  

$y^2=\frac{4a^2}{9}-\frac{2a^2}{9}$  

$y^2=\frac{2a^2}{9}$  

$y=\frac{\sqrt{2}a}{3}$  

Obliczamy pole przekroju.

$P=\frac{x\cdot y}{2}=\frac{\frac{2}{3}a\cdot \frac{\sqrt{2}a}{3}}{2}=\frac{\frac{2\sqrt{2}{a}^2}{9}}{2}=\frac{\sqrt{2}{a}^2}{9}=\frac{a^2\sqrt{2}}{9}$