a) Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

 

Dłuższe przekątne sześciokąta foremnego o boku długości 6 dzielą go na 6 przystających trójkątów równobocznych o boku długości 6. Połowa krótszej przekątnej sześciokąta foremnego jest wysokością jednego takiego trójkąta równobocznego. Stąd otrzymujemy, że:

$a=2\cdot \frac{6\cdot \sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$  

Obliczamy pole przekroju graniastosłupa.

$P=a\cdot 9=6\sqrt{3}\cdot 9=54\sqrt{3}$  

---

b) Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Dłuższe przekątne sześciokąta foremnego o boku długości 6 dzielą go na 6 przystających trójkątów równobocznych o boku długości 6, zatem dłuższa przekątna podstawy graniastosłupa ma długość 12. Dzieli ona podstawę na dwa przystające trapezy równoramienne. Odcinek oznaczony literą a łączy środki dwóch ramion jednego z tych trapezów, a więc jego długość to średnia arytmetyczna długości podstaw trapezu. Czyli:

$a=\frac{6+12}{2}=\frac{18}{2}=9$  

Obliczamy pole przekroju graniastosłupa.

$P=a\cdot 9=9\cdot 9=81$  

---

c) Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Dłuższe przekątne sześciokąta foremnego o boku długości 6 dzielą go na 6 przystających trójkątów równobocznych o boku długości 6. Stąd otrzymujemy, że:

$a=2\cdot 6=12$  

Połowa krótszej przekątnej sześciokąta foremnego jest wysokością jednego takiego trójkąta równobocznego. Wobec tego:

$x=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$  

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i wyznaczamy długość wysokości przekroju.

$h^2=x^2+9^2$  

$h^2={\left(3\sqrt{3}\right)}^2+81$  

$h^2=27+81$  

$h^2=108$  

$h=\sqrt{108}$  

$h=6\sqrt{3}$  

Obliczamy pole przekroju graniastosłupa.

$P=\frac{\left(a+6\right)\cdot h}{2}=\frac{\left(12+6\right)\cdot 6\sqrt{3}}{2}=18\cdot 3\sqrt{3}=54\sqrt{3}$  

---

d) Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Dłuższe przekątne sześciokąta foremnego o boku długości 6 dzielą go na 6 przystających trójkątów równobocznych o boku długości 6. Stąd otrzymujemy, że:

$x=\frac{1}{2}\cdot 6=3$  

Połowa krótszej przekątnej sześciokąta foremnego jest wysokością jednego takiego trójkąta równobocznego. Wobec tego:

$a=2\cdot \frac{6\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$  

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i wyznaczamy długość wysokości przekroju.

$h^2=x^2+9^2$  

$h^2=3^2+81$  

$h^2=9+81$  

$h^2=90$  

$h=\sqrt{90}$  

$h=3\sqrt{10}$  

Obliczamy pole przekroju graniastosłupa.

$P=\frac{a\cdot h}{2}=\frac{6\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{10}}{2}=3\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{10}=9\sqrt{30}$