Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku. 

---

Pole powierzchni

Obliczamy pole powierzchni sześcianu.

$P_{sz}=6\cdot a^2=6a^2$  

Ośmiościan foremny ma 8 ścian, które są przystającymi trójkątami równobocznymi. Wyznaczamy pole powierzchni ośmiościanu. Skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego.

$P_o=8\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=2\sqrt{3}{a}^2$  

Obliczamy stosunek pól powierzchni tych brył.

$\frac{P_{sz}}{P_o}=\frac{6a^2}{2\sqrt{3}{a}^2}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$  

---

Objętość

Obliczamy objętość sześcianu.

$V_{sz}=a^3$  

Ośmiościan foremny składa się z dwóch takich samych ostrosłupów prawidłowych czworokątnych. Obliczymy objętość jednego takiego ostrosłupa i otrzymany wynik pomnożymy przez 2. Zanim jednak obliczymy tę objętość, musimy wyznaczyć długość wysokości ściany oraz długość wysokości ostrosłupa. Korzystamy ze wzoru na długość wysokości trójkąta równobocznego i wyznaczamy h. 

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  

Teraz skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa i wyznaczymy długość H.

$H^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=h^2$  

$H^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2={\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2$  

$H^2+\frac{a^2}{4}=\frac{3a^2}{4}\mid -\frac{a^2}{4}$  

$H^2=\frac{2a^2}{4}$  

$H^2=\frac{a^2}{2}$  

$H=\frac{a}{\sqrt{2}}$  

$H=\frac{a\sqrt{2}}{2}$  

Obliczamy objętość ostrosłupa.

$V=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot H=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}{a}^3}{6}$  

Wyznaczamy objętość ośmiościanu foremnego.

$V_o=2\cdot V=2\cdot \frac{\sqrt{2}{a}^3}{6}=\frac{\sqrt{2}{a}^3}{3}$  

Obliczamy stosunek objętości tych brył.

$\frac{V_{sz}}{V_o}=\frac{a^3}{\frac{\sqrt{2}{a}^3}{3}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{3}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$