a) Wiemy, że:

$t=\text{tg}\left(\frac{\alpha }{2}\right)$  

Zastosujmy podstawienie pomocnicze. Skorzystamy ze wzoru na tangens podwojonego kąta.

$L=\text{tg}\alpha =\text{tg}2\beta =\frac{2\text{tg}\beta }{1-{\text{tg}}^2\beta }=\frac{2\text{tg}\left(\frac{\alpha }{2}\right)}{1-{\text{tg}}^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}=\frac{2t}{1-t^2}=P$  

Co należało dowieść.

---

b) Wiemy, że:

$t=\text{tg}\left(\frac{\alpha }{2}\right)$  

Przekształcamy prawą stronę równości. Skorzystamy ze wzoru na sinus podwojonego kąta.
$P=\frac{2t}{1+t^2}=\frac{2\text{tg}\left(\frac{\alpha }{2}\right)}{1+{\text{tg}}^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}=\frac{2\cdot \frac{\sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)}{\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)}}{1+\frac{{\sin }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}{{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}}=\frac{2\cdot \frac{\sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)}{\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)}}{\frac{{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}{{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}+\frac{{\sin }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}{{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}}=\frac{2\cdot \frac{\sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)}{\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)}}{\frac{{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)+{\sin }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}{{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}}=\frac{2\cdot \frac{\sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)}{\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)}}{\frac{1}{{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}}=2\cdot \frac{\sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)}{\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)}\cdot {\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)=2\cdot \sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)=\sin \alpha =L$  

Co należało dowieść.

---

c) Wiemy, że:

$t=\text{tg}\left(\frac{\alpha }{2}\right)$  

Przekształcamy prawą stronę równości. Skorzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta.
$P=\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{1-{\text{tg}}^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}{1+{\text{tg}}^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}=\frac{1-\frac{{\sin }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}{{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}}{1+\frac{{\sin }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}{{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}}=\frac{\frac{{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}{{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}-\frac{{\sin }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}{{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}}{\frac{{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}{{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}+\frac{{\sin }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}{{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}}=\frac{\frac{{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)-{\sin }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}{{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}}{\frac{{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)+{\sin }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}{{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}}=\frac{\frac{\cos \alpha }{{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}}{\frac{1}{{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}}=\cos \alpha =L$  

Co należało dowieść.