$\text{a)}{\sin }^{2}x-\cos x\cdot \text{tg}x=0$  

Równanie ma sens dla liczb, dla których  $\text{tg}x$  jest określony, zatem:

$x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

Przekształcamy dane równanie.

${\sin }^{2}x-\cos x\cdot \frac{\sin x}{\cos x}=0$  

Równanie ma więc postać:

${\sin }^{2}x-\sin x=0$  

Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.

$\sin x\left(\sin x-1\right)=0$

Iloczyn dwóch liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0. Wobec tego:

$\underset{\left(1\right)}{\underbrace{\sin x=0}}\text{lub}\underset{\left(2\right)}{\underbrace{\sin x-1=0}}$  

$\left(1\right)\sin x=0$  

Szkicujemy wykres funkcji  $y=\sin x.$  

Z wykresu odczytujemy rozwiązania równania.

$x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

$\left(2\right)\sin x-1=0\mid +1$  

$\sin x=1$  

Szkicujemy wykres funkcji  $y=\sin x.$  

Z wykresu odczytujemy rozwiązania równania.

$x=\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

Łącząc oba przypadki, otrzymujemy, że:

$x=k\pi \text{lub}x=\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

Uwzględniając dziedzinę równania, dostajemy:

$x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

---

$\text{b)}-2{\sin }^{2}x+7\cos x+5=0$  

Przekształcamy dane równanie. Skorzystamy z "jedynki trygonometrycznej".

$-2\left(1-{\cos }^{2}x\right)+7\cos x+5=0$  

$-2+2{\cos }^{2}x+7\cos x+5=0$  

$2{\cos }^{2}x+7\cos x+3=0$  

Stosujemy podstawienie pomocnicze.

$\cos x=t,t\in ⟨-1;1⟩$  

Mamy więc:

$2t^2+7t+3=0$  

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta =7^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25$  

Wyznaczamy pierwiastki równania.

$t_1=\frac{-7-\sqrt{25}}{2\cdot 2}=\frac{-7-5}{4}=\frac{-12}{4}=-3\notin ⟨-1;1⟩$  

$t_2=\frac{-7+\sqrt{25}}{2\cdot 2}=\frac{-7+5}{4}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$  

Stąd otrzymujemy, że:

$\cos x=-\frac{1}{2}$  

Szkicujemy wykres funkcji  $y=\cos x$  i prostą  $y=-\frac{1}{2}.$  

Znajdujemy wszystkie rozwiązania w przedziale o długości  $2\pi ,$  np. w przedziale  $⟨-\pi ;\pi ⟩.$  

Mamy więc:

$x_1=\frac{2\pi }{3},x_2=-\frac{2\pi }{3}$  

Rozwiązania danego równania mają postać:

$x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi \text{lub}x=-\frac{2\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

---

$\text{c)}\sin x+1=2{\cos }^{2}x$  

Przekształcamy dane równanie. Skorzystamy z "jedynki trygonometrycznej".

$\sin x+1=2\left(1-{\sin }^{2}x\right)$  

$\sin x+1=2-2{\sin }^{2}x\mid +2{\sin }^{2}x$  

$2{\sin }^{2}x+\sin x+1=2\mid -2$  

$2{\sin }^{2}x+\sin x-1=0$  

Stosujemy podstawienie pomocnicze.

$\sin x=t,t\in ⟨-1;1⟩$  

Mamy więc:

$2t^2+t-1=0$  

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta =1^2-4\cdot 2\cdot \left(-1\right)=1+8=9$  

Wyznaczamy pierwiastki równania.

$t_1=\frac{-1-\sqrt{9}}{2\cdot 2}=\frac{-1-3}{4}=\frac{-4}{4}=-1$   

$t_2=\frac{-1+\sqrt{9}}{2\cdot 2}=\frac{-1+3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$   

Stąd otrzymujemy, że:

$\underset{\left(1\right)}{\underbrace{\sin x=-1}}\text{lub}\underset{\left(2\right)}{\underbrace{\sin x=\frac{1}{2}}}$  

$\left(1\right)\sin x=-1$  

Szkicujemy wykres funkcji  $y=\sin x.$  

Z wykresu odczytujemy rozwiązania równania.

$x=\frac{3\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

$\left(2\right)\sin x=\frac{1}{2}$  

Szkicujemy wykres funkcji  $y=\sin x$  i prostą  $y=\frac{1}{2}.$  

Znajdujemy wszystkie rozwiązania w przedziale o długości  $2\pi ,$  np. w przedziale  $⟨0;2\pi ⟩.$  

Mamy więc:

$x_1=\frac{\pi }{6},x_2=\frac{5\pi }{6}$  

Rozwiązania danego równania mają postać:

$x=\frac{\pi }{6}+2k\pi \text{lub}x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

Łącząc oba przypadki, otrzymujemy, że:

$x=\frac{3\pi }{2}+2k\pi \text{lub}x=\frac{\pi }{6}+2k\pi \text{lub}x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

---

$\text{d)}\frac{\text{tg}\left(x-\pi \right)}{\sin \left(x-\pi \right)}=\sqrt{2}$  

Przekształćmy dane równanie. Skorzystamy ze wzorów redukcyjnych.

$\frac{\text{tg}\left(-\left(\pi -x\right)\right)}{\sin \left(-\left(\pi -x\right)\right)=\sqrt{2}}$  

$\frac{-\text{tg}\left(\pi -x\right)}{-\sin \left(\pi -x\right)=\sqrt{2}}$  

$\frac{\text{tg}\left(\pi -x\right)}{\sin \left(\pi -x\right)=\sqrt{2}}$  

$\frac{-\text{tg}x}{\sin x}=\sqrt{2}\mid \cdot \left(-1\right)$  

$\frac{\text{tg}x}{\sin x}=-\sqrt{2}$  

Równanie ma sens dla liczb, dla których  $\text{tg}x$  jest określony, zatem:

$x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

Przekształcamy dane równanie. 

$\frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\sin x}=-\sqrt{2}$  

Równanie ma więc postać:

$\frac{1}{\cos x}=-\sqrt{2}\mid \cdot \cos x$  

$1=-\sqrt{2}\cos x\mid :\left(-\sqrt{2}\right)$  

$-\frac{1}{\sqrt{2}}=\cos x$  

$-\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos x$  

Szkicujemy wykres funkcji  $y=\cos x$  i prostą  $y=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$  

Znajdujemy wszystkie rozwiązania w przedziale o długości  $2\pi ,$  np. w przedziale  $⟨-\pi ;\pi ⟩.$  

Mamy więc:

$x_1=\frac{3\pi }{4},x_2=-\frac{3\pi }{4}$  

Rozwiązania danego równania mają postać:

$x=\frac{3\pi }{4}+2k\pi \text{lub}x=-\frac{3\pi }{4}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

---

$\text{e)}\left(1-\cos 3x\right)\left(1+\cos 3x\right)=\sin 3x$  

Przekształcamy dane równanie.

$1-{\cos }^{2}3x=\sin 3x$  

Skorzystamy z "jedynki trygonometrycznej".

${\sin }^{2}3x=\sin 3x\mid -\sin 3x$  

${\sin }^{2}3x-\sin 3x=0$  

$\sin 3x\left(\sin 3x-1\right)=0$  

Zastosujmy postawienie pomocnicze.

$3x=t$  

Mamy więc:

$\sin t\left(\sin t-1\right)=0$  

Iloczyn dwóch liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0. Wobec tego:

$\underset{\left(1\right)}{\underbrace{\sin t=0}}\text{lub}\underset{\left(2\right)}{\underbrace{\sin t-1=0}}$  

$\left(1\right)\sin t=0$  

Szkicujemy wykres funkcji  $y=\sin t.$  

Z wykresu odczytujemy rozwiązania równania $\sin t=0.$  

$t=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

Wobec tego:

$3x=k\pi$  

$x=\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$  

 

$\left(2\right)\sin t-1=0\mid +1$  

$\sin t=1$  

Szkicujemy wykres funkcji  $y=\sin t.$  

Z wykresu odczytujemy rozwiązania równania $\sin t=1.$  

$t=\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

Wobec tego:

$3x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$  

$x=\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$  

Łącząc oba przypadki, otrzymujemy, że:

$x=\frac{k\pi }{3}\text{lub}x=\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$  

---

$\text{f)}\text{tg}\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{\text{tg}\left(\frac{x}{2}\right)}=\frac{2}{\sin \left(\frac{x}{2}\right)}$  

Zastosujmy postawienie pomocnicze.

$\frac{x}{2}=t$  

Mamy więc:

$\text{tg}t+\frac{1}{\text{tg}t}=\frac{2}{\sin t}$  

Równanie ma sens dla liczb, dla których  $\text{tg}t$  jest określony, zatem:

$t\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

Przekształcamy dane równanie. 

$\frac{\sin t}{\cos t}+\frac{1}{\frac{\sin t}{\cos t}}=\frac{2}{\sin t}$  

$\frac{\sin t}{\cos t}+\frac{\cos t}{\sin t}=\frac{2}{\sin t}$  

Szkicujemy wykres funkcji  $y=\sin t.$  

Z wykresu możemy odczytać, że:

$t\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

Łącząc oba warunki, możemy zapisać, że:

$t\ne \frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$  

Kontynuujemy przekształcanie równania.

$\frac{\sin t}{\cos t}+\frac{\cos t}{\sin t}=\frac{2}{\sin t}\mid \cdot \sin t$  

$\frac{{\sin }^{2}t}{\cos t}+\cos t=2\mid \cdot \cos t$  

${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=2\cos t$  

Z "jedynki trygonometrycznej" otrzymujemy:

$1=2\cos t\mid :2$  

$\frac{1}{2}=\cos t$  

Szkicujemy wykres funkcji  $y=\cos t$  i prostą  $y=\frac{1}{2}.$  

Znajdujemy wszystkie rozwiązania w przedziale o długości  $2\pi ,$  np. w przedziale  $⟨-\pi ;\pi ⟩.$  

Mamy więc:

$t_1=\frac{\pi }{3},t_2=-\frac{\pi }{3}$  

Rozwiązania danego równania mają postać:

$t=\frac{\pi }{3}+2k\pi \text{lub}t=-\frac{\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

Wobec tego:

$\frac{x}{2}=\frac{\pi }{3}+2k\pi \text{lub}\frac{x}{2}=-\frac{\pi }{3}+2k\pi ,$  

$x=\frac{2\pi }{3}+4k\pi \text{lub}x=-\frac{2\pi }{3}+4k\pi ,k\in \mathbb{Z}$