a) Przekształcimy wzór danej funkcji. Skorzystamy z "jedynki trygonometrycznej". 

$y={\sin }^{2}x-3{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x-4{\cos }^{2}x=1-4{\cos }^{2}x$  

Funkcja ta jest określona na całym zbiorze liczb rzeczywistych, więc:

$D=\mathbb{R}$  

Określimy teraz zbiór wartości tej funkcji.

Funkcja  $y=\cos x$  przyjmuje wartości z przedziału  $⟨-1;1⟩,$  więc:

$-1\le \cos x\le 1$  

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, zatem:

$0\le {\cos }^{2}x\le 1$  

Wobec tego: 

$4\cdot 0\le 4\cdot {\cos }^{2}x\le 4\cdot 1$  

$0\le 4{\cos }^{2}x\le 4$  

$-4\le -4{\cos }^{2}x\le 0$  

$1-4\le 1-4{\cos }^{2}x\le 1$  

$-3\le 1-4{\cos }^{2}x\le 1$  

Stąd otrzymujemy, że:

$ZW=⟨-3,1⟩$  

---

b) Przekształcimy wzór danej funkcji. Skorzystamy ze wzoru na  $\text{tg}x.$  

$y=\text{tg}x\cdot \cos x=\frac{\sin x}{\cos x}\cdot \cos x=\sin x$  

Funkcja tangens nie jest określona dla  $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z},$  stąd:

$D=\mathbb{R}\text{}\left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \right\},k\in \mathbb{Z}$  

Określimy teraz zbiór wartości tej funkcji.

Funkcja  $y=\sin x$  przyjmuje wartości z przedziału  $⟨-1;1⟩,$  więc:

$-1\le \sin x\le 1$  

Stąd otrzymujemy, że:

$ZW=⟨-1,1⟩$  

---

c) Przekształcimy wzór danej funkcji. Skorzystamy ze wzoru na  $\text{tg}x.$  

$y=\frac{\sin x}{\text{tg}x}=\frac{\sin x}{\frac{\sin x}{\cos x}}=\sin x\cdot \frac{\cos x}{\sin x}=\cos x$  

Mianownik ułamka musi być liczbą różną od 0. Funkcja tangens przyjmuje wartość 0 dla $x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$  Dodatkowo funkcja tangens nie jest określona dla  $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$  Łącząc oba te przypadki, otrzymujemy, że:

$D=\mathbb{R}\text{}\left\{\frac{k\pi }{2}\right\},k\in \mathbb{Z}$  

Określimy teraz zbiór wartości tej funkcji.

Funkcja  $y=\cos x$  przyjmuje wartości z przedziału  $⟨-1;1⟩,$  więc:

$-1\le \cos x\le 1$  

Pamiętajmy jednak, że funkcja nie jest określona dla  $x=\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z},$  zatem nie przyjmuje wartości -1, 0 oraz 1.

Stąd otrzymujemy, że:

$ZW=\left(-1;0\right)\cup \left(0;1\right)$  

---

d) Mianownik ułamka musi być liczbą różną od 0. Funkcja cosinus przyjmuje wartość 0 dla $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$  Wobec tego:

$D=\mathbb{R}\text{}\left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \right\},k\in \mathbb{Z}$  

Określimy teraz zbiór wartości tej funkcji.

Funkcja  $y=\cos x$  przyjmuje wartości z przedziału  $⟨-1;1⟩,$  więc:

$-1\le \cos x\le 1$  

Zatem odwrotność liczby  $\cos x$  przyjmie wartości z przedziału  $(-\infty ;-1⟩\cup ⟨1;+\infty ).$  

Wobec tego:

$-\infty <\frac{1}{\cos x}\le -1\text{lub}1\le \frac{1}{\cos x}<+\infty$  

$-\infty <-\frac{1}{\cos x}\le -1\text{lub}1\le -\frac{1}{\cos x}<+\infty$  

$-\infty <-\frac{2}{\cos x}\le -2\text{lub}2\le -\frac{2}{\cos x}<+\infty$  

Stąd otrzymujemy, że:

$ZW=(-\infty ;-2⟩\cup ⟨2;+\infty )$