Które z poniższych wyrażeń przyjmuje ...- Zadanie S3: Matematyka z plusem 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Upraszczamy dane wyrażenia. W rozwiązaniu skorzystamy z następujących własności:

$(1) tg α = \frac{sin α}{cos α}$

$(2) sin^{2} α + cos^{2} α = 1$

$sin^{2} α = 1 - cos^{2} α$

$cos^{2} α = 1 - sin^{2} α$

$A. tg α + \frac{1}{tg α} = (1) \frac{sin α}{cos α} + \frac{1}{\frac{s i n α}{c o s α}} = \frac{sin α}{cos α} + \frac{cos α}{sin α} = \frac{sin ^{2} α}{sin α \cdot cos α} + \frac{cos ^{2} α}{sin α \cdot cos α} = \frac{sin ^{2} α + cos ^{2} α}{sin α \cdot cos α} = (2) \frac{1}{sin α \cdot cos α}$

$B. (1 - sin α - cos α)^{2} = (1 - sin α - cos α) (1 - sin α - cos α) = 1 - sin α - cos α - sin α + sin^{2} α + sin α \cdot cos α - cos α + sin α \cdot cos α + cos^{2} α = sin^{2} α + cos^{2} α + 1 - 2 sin α - 2 cos α + 2 sin α cos α = (2) 1 + 1 - 2 sin α - 2 cos α + 2 sin α cos α = 2 - 2 sin α - 2 cos α + 2 sin α cos α = 2 (1 - sin α - cos α + sin α cos α)$

$C. (sin α + cos α)^{2} + (sin α - cos α)^{2} = sin^{2} α + 2 sin α cos α + cos^{2} α + sin^{2} α - 2 sin α cos α + cos^{2} α = 2 sin^{2} α + 2 cos^{2} α = 2 (sin^{2} α + cos^{2} α) = (2) 2 \cdot 1 = 2$