Korzystamy ze wzoru na $\text{tg}\alpha$  i wyznaczamy  $\cos \alpha .$   

$\text{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$  

$\frac{1}{3}=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\mid \cdot \cos \alpha$  

Z własności proporcji:

$\cos \alpha =3\sin \alpha$  

Korzystamy z "jedynki trygonometrycznej" i wyznaczamy  $\sin \alpha .$  

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\sin }^2\alpha +{\left(3\sin \alpha \right)}^2=1$  

${\sin }^2\alpha +9{\sin }^2\alpha =1$  

$10{\sin }^2\alpha =1\mid :10$  

${\sin }^2\alpha =\frac{1}{10}$  

$\left|\sin \alpha \right|=\frac{1}{\sqrt{10}}$  

$\left|\sin \alpha \right|=\frac{\sqrt{10}}{10}$  

Zatem:

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{10}}{10}\vee \sin \alpha =\frac{\sqrt{10}}{10}$  

Ponieważ  $\alpha \in \left(-{180}^{\circ };-{90}^{\circ }\right),$  to końcowe ramię kąta  $\alpha$  znajduje się w III ćwiartce układu współrzędnych, a więc  $\sin \alpha <0.$  Wobec tego:

$\sin \alpha =-\frac{\sqrt{10}}{10}$  

Wyznaczamy  $\cos \alpha .$  

$\cos \alpha =3\sin \alpha =3\cdot \left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right)=-\frac{3\sqrt{10}}{10}$