a) Jednym z punktów leżących na danej półprostej, którego obie współrzędne są liczbami całkowitymi, jest punkt o współrzędnych  $\left(-3,-2\right).$  

Wyznaczamy odległość tego punktu od początku układu współrzędnych.

$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$  

Obliczamy wartości funkcji trygonometrycznych kąta  $\alpha .$  

$\sin \alpha =\frac{y}{r}=\frac{-2}{\sqrt{13}}=-\frac{2\sqrt{13}}{13}$  

$\cos \alpha =\frac{x}{r}=\frac{-3}{\sqrt{13}}=-\frac{3\sqrt{13}}{13}$  

$\text{tg}\alpha =\frac{y}{x}=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}$  

---

b) Jednym z punktów leżących na danej półprostej, którego obie współrzędne są liczbami całkowitymi, jest punkt o współrzędnych  $\left(-3,1\right).$  

Wyznaczamy odległość tego punktu od początku układu współrzędnych.

$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+1^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$  

Obliczamy wartości funkcji trygonometrycznych kąta  $\beta .$  

$\sin \beta =\frac{y}{r}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$  

$\cos \beta =\frac{x}{r}=\frac{-3}{\sqrt{10}}=-\frac{3\sqrt{10}}{10}$  

$\text{tg}\beta =\frac{y}{x}=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}$  

---

c) Jednym z punktów leżących na danej półprostej, którego obie współrzędne są liczbami całkowitymi, jest punkt o współrzędnych  $\left(4,-3\right).$  

Wyznaczamy odległość tego punktu od początku układu współrzędnych.

$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{4^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$  

Obliczamy wartości funkcji trygonometrycznych kąta  $\gamma .$  

$\sin \gamma =\frac{y}{r}=\frac{-3}{5}=-\frac{3}{5}$  

$\cos \gamma =\frac{x}{r}=\frac{4}{5}$  

$\text{tg}\gamma =\frac{y}{x}=\frac{-3}{4}=-\frac{3}{4}$