Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

 

Trójkąty  $ABC$  i  $ACD$  są prostokątne i mają wspólny kąt przy wierzchołku  $A,$  zatem są podobne (cecha  $kkk$ ).

Układamy odpowiednią proporcję i wyznaczamy długość odcinka  $AC.$  

$\frac{\left|AD\right|}{\left|AC\right|}=\frac{\left|AC\right|}{\left|AB\right|}$  

$\frac{3}{\left|AC\right|}=\frac{\left|AC\right|}{3+12}$  

$\frac{3}{\left|AC\right|}=\frac{\left|AC\right|}{15}$  

Korzystamy z własności proporcji.

$3\cdot 15=\left|AC\right|\cdot \left|AC\right|$  

$45={\left|AC\right|}^2$  

$\sqrt{45}=\left|AC\right|$  

$\left|AC\right|=3\sqrt{5}\left[\text{cm}\right]$  

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  $ADC$  i wyznaczamy długość odcinka  $CD.$  

${\left|AD\right|}^2+{\left|CD\right|}^2={\left|AC\right|}^2$  

$3^2+{\left|CD\right|}^2={\left(3\sqrt{5}\right)}^2$  

$9+{\left|CD\right|}^2=45\mid -9$  

${\left|CD\right|}^2=36$  

$\left|CD\right|=6\left[\text{cm}\right]$