3 szkoły ponadpodstawowej

III liceum

III technikum

Matematyka z plusem 3. Zakres rozszerzony

Obliczamy różnicę an+1​−an​.

a) Ze wzoru rekurencyjnego możemy odczytać, że:

a) Wyznaczamy pierwszy i drugi wyraz tego ciągu: a1​=71=7   a2​=72=49   Obliczamy iloraz tego ciągu:

Przyjmijmy, że: a1​=5p−4   a2​=p+5   a3​=2   Korzystamy ze związku między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego.

Przypomnijmy, że: Sn​−Sn−1​=an​

Przyjmijmy, że: a1​=5   a2​=12   a3​=19   ... Różnica tego ciągu jest równa:

Sprawdzamy, czy ten ciąg jest ciągiem arytmetycznym.

Przyjmijmy, że: b1​=a5​   b2​=a10​

Ciąg 1: 6,18,30,…   Wyznaczamy różnicę tego ciągu: ra​=a2​−a1​=18−6=12

Wiemy, że: a6​=5   a8​=10   Ze wzoru ogólnego ciągu geometrycznego mamy:

Wiemy, że: a7​=16⋅a3​   Ze wzoru ogólnego ciągu geometrycznego otrzymujemy:

Liczbę  a  zapiszemy w postaci równoważnej.

Cenę mieszkania oznaczmy przez  K.   Wartość mieszkania co roku zwiększa się o 10%, więc:

a) Obliczamy daną granicę. n→∞lim​(n6​−5n23​)=n→∞lim​n6​<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='0.548em' viewBox='0 0 400000 548' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M6 548l-6-6v-35l6-11c56-104 135.3-181.3 238-232 57.3-28.7 117
-45 179-50h399577v120H403c-43.3 7-81 15-113 26-100.7 33-179.7 91-237 174-2.7
 5-6 9-10 13-.7 1-7.3 1-20 1H6z'/></svg><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='0.548em' viewBox='0 0 400000 548' preserveAspectRatio='xMidYMin slice'><path d='M200428 334
c-100.7-8.3-195.3-44-280-108-55.3-42-101.7-93-139-153l-9-14c-2.7 4-5.7 8.7-9 14
-53.3 86.7-123.7 153-211 199-66.7 36-137.3 56.3-212 62H0V214h199568c178.3-11.7
 311.7-78.3 403-201 6-8 9.7-12 11-12 .7-.7 6.7-1 18-1s17.3.3 18 1c1.3 0 5 4 11
 12 44.7 59.3 101.3 106.3 170 141s145.3 54.3 229 60h199572v120z'/></svg><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='0.548em' viewBox='0 0 400000 548' preserveAspectRatio='xMaxYMin slice'><path d='M400000 542l
-6 6h-17c-12.7 0-19.3-.3-20-1-4-4-7.3-8.3-10-13-35.3-51.3-80.8-93.8-136.5-127.5
s-117.2-55.8-184.5-66.5c-.7 0-2-.3-4-1-18.7-2.7-76-4.3-172-5H0V214h399571l6 1
c124.7 8 235 61.7 331 161 31.3 33.3 59.7 72.7 85 118l7 13v35z'/></svg>​↑0​​−n→∞lim​5n23​<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='0.548em' viewBox='0 0 400000 548' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M6 548l-6-6v-35l6-11c56-104 135.3-181.3 238-232 57.3-28.7 117
-45 179-50h399577v120H403c-43.3 7-81 15-113 26-100.7 33-179.7 91-237 174-2.7
 5-6 9-10 13-.7 1-7.3 1-20 1H6z'/></svg><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='0.548em' viewBox='0 0 400000 548' preserveAspectRatio='xMidYMin slice'><path d='M200428 334
c-100.7-8.3-195.3-44-280-108-55.3-42-101.7-93-139-153l-9-14c-2.7 4-5.7 8.7-9 14
-53.3 86.7-123.7 153-211 199-66.7 36-137.3 56.3-212 62H0V214h199568c178.3-11.7
 311.7-78.3 403-201 6-8 9.7-12 11-12 .7-.7 6.7-1 18-1s17.3.3 18 1c1.3 0 5 4 11
 12 44.7 59.3 101.3 106.3 170 141s145.3 54.3 229 60h199572v120z'/></svg><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='0.548em' viewBox='0 0 400000 548' preserveAspectRatio='xMaxYMin slice'><path d='M400000 542l
-6 6h-17c-12.7 0-19.3-.3-20-1-4-4-7.3-8.3-10-13-35.3-51.3-80.8-93.8-136.5-127.5
s-117.2-55.8-184.5-66.5c-.7 0-2-.3-4-1-18.7-2.7-76-4.3-172-5H0V214h399571l6 1
c124.7 8 235 61.7 331 161 31.3 33.3 59.7 72.7 85 118l7 13v35z'/></svg>​↑0​​=0−0=0

a) Obliczamy daną granicę. n→∞lim​(an​⋅bn​−4)=n→∞lim​(an​)⋅n→∞lim​(bn​)−n→∞lim​4=(−3)⋅(+∞)−4=(−∞)−4=−∞

Lewa strona równania jest szeregiem geometrycznym o ilorazie  q=x2.  Ten szereg jest zbieżny, gdy iloraz spełnia warunek  ∣q∣&lt;1.

Komentarze