Na rysunkach przedstawiono kolejne etapy ...- Zadanie 9: Matematyka z plusem 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

$P_{1}$ - pole trójkąta o boku długości 1,

$P_{2}$ - suma pól trzech trójkątów o boku długości $\frac{1}{3},$

$P_{3}$ - suma pól dwunastu trójkątów o boku długości $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3},$

$P_{4}$ - suma pól czterdziestu ośmiu trójkątów o boku długości $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3},$

$\dots$

Wyznaczamy pola $P_{1},$ $P_{2},$ $P_{3},$ $P_{4} .$

$P_{1} = \frac{1 ^{2} \cdot 3}{4} = \frac{3}{4}$

$P_{2} = 3 \cdot \frac{( \frac{1}{3} ) ^{2} \cdot 3}{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{9} \cdot 3}{4} = 3 \cdot \frac{\frac{3}{9}}{4} = 3 \cdot \frac{3}{9} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{12}$

$P_{3} = 12 \cdot \frac{( \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} ) ^{2} \cdot 3}{4} = 3 \cdot (\frac{1}{9})^{2} \cdot 3 = 3 \cdot \frac{1}{81} \cdot 3 = \frac{3}{27} = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{12}$

$P_{4} = 48 \cdot \frac{( \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} ) ^{2} \cdot 3}{4} = 12 \cdot (\frac{1}{27})^{2} \cdot 3 = 12 \cdot \frac{1}{729} \cdot 3 = \frac{4 3}{243} = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{27} = \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{12} = (\frac{4}{9})^{2} \cdot \frac{3}{12}$

Pole płatka Kocha równe jest sumie wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie $P_{2} = \frac{3}{12}$ i ilorazie $q = \frac{4}{9} .$

$S = P_{1} + P P_{2} + P_{3} + P_{4} + \dots = \frac{3}{4} + P \frac{3}{12} + \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{12} + (\frac{4}{9})^{2} \cdot \frac{3}{12} + \dots$

Ponieważ $∣ q ∣ < 1,$ więc możemy skorzystać ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego.

$P = \frac{P _{2}}{1 - q} = \frac{\frac{3}{12}}{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\frac{3}{12}}{\frac{5}{9}} = \frac{3}{12} \cdot \frac{9}{5} = \frac{3 3}{20}$