Na rysunku przedstawiono ...- Zadanie 6: Matematyka z plusem 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

a) Długość łamanej jest równa sumie wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie $a_{1} = 16$ i ilorazie $q = \frac{1}{2} .$

$L = 2 \cdot 8 + 2 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \dots = 16 + 16 \cdot \frac{1}{2} + 16 \cdot (\frac{1}{2})^{2} + \dots$

Ponieważ $∣ q ∣ < 1,$ więc możemy skorzystać ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego.

$L = \frac{a _{1}}{1 - q} = \frac{16}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{16}{\frac{1}{2}} = 16 \cdot 2 = 32$

b) Wyznaczamy długość najdłuższego odcinka łamanej.

$x^{2} = 6^{2} + 3^{2}$

$x^{2} = 36 + 9$

$x^{2} = 45$

$x = 45$

$x = 35$

Długość łamanej jest równa sumie wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie $a_{1} = 65$ i ilorazie $q = \frac{1}{3} .$

$L = 2 \cdot 35 + 2 \cdot 35 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot 35 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \dots = 65 + 65 \cdot \frac{1}{3} + 65 \cdot (\frac{1}{3})^{2} + \dots$

Ponieważ $∣ q ∣ < 1,$ więc możemy skorzystać ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego.

$L = \frac{a _{1}}{1 - q} = \frac{6 5}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{6 5}{\frac{2}{3}} = 65 \cdot \frac{3}{2} = 95$

c) Wyznaczamy długość najdłuższego odcinka łamanej.

$x^{2} = 4^{2} + 4^{2}$

$x^{2} = 16 + 16$

$x^{2} = 32$

$x = 32$

$x = 42$

Długość łamanej jest równa sumie wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie $a_{1} = 82$ i ilorazie $q = \frac{1}{2} .$

$L = 2 \cdot 42 + 2 \cdot 42 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot 42 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \dots = 82 + 82 \cdot \frac{1}{2} + 42 \cdot (\frac{1}{2})^{2} + \dots$