a) Obliczamy sumę dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu.

$S_{10}=a_1\cdot \frac{1-q^{10}}{1-q}=50\cdot \frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}}{1-\frac{1}{2}}=50\cdot \frac{1-\frac{1}{1024}}{\frac{1}{2}}=50\cdot \frac{1023}{1024}\cdot 2=\frac{25575}{256}=99\frac{231}{256}$  

Ponieważ spełniony jest warunek  $\left|q\right|<1,$  to ten szereg geometryczny jest zbieżny.

Obliczamy sumę szeregu geometrycznego.

$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{50}{1-\frac{1}{2}}=\frac{50}{\frac{1}{2}}=50\cdot 2=100$  

Obliczamy różnicę  $S_{10}-S.$  

$S_{10}-S=99\frac{231}{256}-100=-\frac{25}{256}$  

---

b) Obliczamy sumę dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu.

$S_{10}=a_1\cdot \frac{1-q^{10}}{1-q}=9\cdot \frac{1-{\left(0,1\right)}^{10}}{1-0,1}=9\cdot \frac{1-0,0000000001}{0,9}=10\cdot 0,9999999999=9,999999999$  

Ponieważ spełniony jest warunek  $\left|q\right|<1,$  to ten szereg geometryczny jest zbieżny.

Obliczamy sumę szeregu geometrycznego.

$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{9}{1-0,1}=\frac{9}{0,9}=10$  

Obliczamy różnicę  $S_{10}-S.$  

$S_{10}-S=9,999999999-10=-0,000000001=-\frac{1}{1000000000}=-\frac{1}{{\left(10\right)}^9}=-{10}^{-9}$