Długość łamanej jest równa sumie wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie  $a_1=2$  i ilorazie  $q=\frac{3}{4}.$  

$L=2\cdot 1+2\cdot \frac{3}{4}+2\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}+\dots =2+2\cdot \frac{3}{4}+2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2+\dots$  

Ponieważ  $\left|q\right|<1,$  więc możemy skorzystać ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego.

$L=\frac{a_1}{1-q}=\frac{2}{1-\frac{3}{4}}=\frac{2}{\frac{1}{4}}=2\cdot \frac{4}{1}=8$  

Pole figury jest równe sumie wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie  $a_1=\frac{\sqrt{3}}{4}$  i ilorazie  $q={\left(\frac{3}{4}\right)}^2.$  

$P=\frac{1^2\cdot \sqrt{3}}{4}+\frac{1^2\cdot \sqrt{3}}{4}\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2+\frac{1^2\cdot \sqrt{3}}{4}\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2+\dots =\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2+\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^4+\dots$  

Ponieważ  $\left|q\right|<1,$  więc możemy skorzystać ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego.

$P=\frac{a_1}{1-q}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^2}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{1-\frac{9}{16}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{7}{16}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{16}{7}=\frac{4\sqrt{3}}{7}$