a)

Kwota wpłacona na tę lokatę jest równa:

$K_0=5000[\text{zł}]$  

Oprocentowanie wynosi $2\%$ w skali roku. Odsetki naliczane są co miesiąc. Oprocentowanie miesięczne jest więc równe: 

$p\%=\frac{1}{12}\cdot 2\%=\frac{1}{6}\%$  

Wyznaczymy liczbę $n$ okresów kapitalizacji (miesięcy), po upływie których stan konta zwiększy się dokładnie o $200\text{zł}$ - czyli $n$, dla którego:

$K_n=5200[\text{zł}]$

Przypomnijmy, że 

$K_n=K_0{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n$

Podstawiając odpowiednie dane do powyższego wzoru, otrzymujemy:

$K_n=5000\cdot {\left(1+\frac{\frac{1}{6}}{100}\right)}^n$

Dostajemy więc następujące równanie z niewiadomą $n$:

$5000\cdot {\left(1+\frac{\frac{1}{6}}{100}\right)}^n=5200$

$5000\cdot {\left(1+\frac{1}{600}\right)}^n=5200$  

$5000\cdot {\left(\frac{601}{600}\right)}^n=5200|:5000$

${\left(\frac{601}{600}\right)}^n=\frac{5200}{5000}$  

${\left(\frac{601}{600}\right)}^n=\frac{26}{25}$

Z definicji logarytmu, otrzymujemy:

${\log }_{\frac{601}{600}}\left(\frac{26}{25}\right)=n$  

Korzystając z kalkulatora naukowego, możemy obliczyć, że:

$n\approx 23,55$  

Zatem po upływie około $23,55$ miesiąca kwota odsetek wyniesie $200\text{zł}$. Wobec tego kwota odsetek przekroczy $200\text{zł}$ po upływie $24$ miesięcy - czyli po upływie $2$ lat.

Odp.: Kwota odsetek osiągnie ponad $200\text{zł}$ po $2$ latach.

---

b) 

Odsetki są naliczane co $3$ miesiące, więc liczba okresów kapitalizacji w ciągu $2$ lat jest równa:

$n=2\cdot 4=8$  

Po upływie $2$ lat (czyli $8$ okresów kapitalizacji) na koncie znajdowało się $7778,20\text{zł}$, więc:

$K_8=7778,20[\text{zł}]$  

Oprocentowanie wynosi:

$p\%=\frac{2,5\%}{4}=\frac{5}{8}\%$  

Obliczamy, jaką kwotę wpłacono na lokatę $3$-miesięczną skoro po upływie $2$ lat na koncie była kwota $7778,20\text{zł}$.

$K_8=K_0{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^8$   

$7778,20=K_0\cdot {\left(1+\frac{\frac{5}{8}}{100}\right)}^8$   

$7778,20=K_0\cdot {\left(1+\frac{5}{800}\right)}^8$  

$7778,20=K_0\cdot {\left(1+0,00625\right)}^8$

$7778,20=K_0\cdot {\left(1,00625\right)}^8$  

$7778,20\approx K_0\cdot 1,0511|:1,0511$  

$7400\approx K_0$  

$K_0\approx 7400[\text{zł}]$  

Odp.: Na lokatę wpłacono około $7400\text{zł}$. 

---

c) 

Wpłacona kwota wynosiła:

$K_0=7200[\text{zł}]$  

Odsetki były naliczane co $3$ miesiące, więc w ciągu $3$ lat okresów kapitalizacji było łącznie:

$n=3\cdot 4=12$  

Po upływie $3$ lat na koncie znajdowała się kwota:

$7200+913,14=8113,14[\text{zł}]$, 

Wobec tego:

$K_{12}=8113,14[\text{zł}]$  

Obliczamy, jakie było oprocentowanie tej lokaty.

$K_{12}=K_0{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^{12}$   

$8113,14=7200\cdot {\left(1+\frac{p}{100}\right)}^{12}$   

$8113,14=7200\cdot {\left(1+\frac{p}{100}\right)}^{12}$   

$8113,14=7200\cdot {\left(\frac{100+p}{100}\right)}^{12}|:7200$   

$1,126825={\left(1+\frac{p}{100}\right)}^{12}|\sqrt[12]{}$   

$1,01\approx 1+\frac{p}{100}$

$\frac{p}{100}\approx 0,01$

$p\approx 1$

Czyli oprocentowanie za jeden okres naliczania odsetek wynosiło

$p\%\approx 1\%$

Zatem oprocentowanie tej lokaty wynosiło około $4\%$ (w skali roku).

Odp.: Oprocentowanie lokaty wynosiło około $4\%$.

---

d) 

Wpłacona kwota wynosiła:

$K_0=12000[\text{zł}]$  

Odsetki były naliczane co pół roku, więc w ciągu $3$ lat okresów kapitalizacji było:

$n=3\cdot 2=6$

Po upływie $3$ lat na koncie znajdowało się $13513,95\text{zł}$, więc:

$K_6=13513,95[\text{zł}]$  

Obliczamy, jakie było oprocentowanie tej lokaty.

$K_6=K_0{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^6$   

$13513,95=12000{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^6|:12000$   

$1,1261625={\left(1+\frac{p}{100}\right)}^6|\sqrt[6]{}$

$1,02\approx 1+\frac{p}{100}$

$\frac{p}{100}\approx 0,02$

$p\approx 2$

Czyli oprocentowanie za jeden okres naliczania odsetek wynosiło

$p\%\approx 2\%$

Zatem oprocentowanie tej lokaty wynosiło około $4\%$ (w skali roku).

Odp.: Oprocentowanie lokaty wynosiło około $4\%$.