a) Ponieważ nie istnieje pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia z liczby ujemnej, to zakładamy, że:

$x\ge 0$  

Dane wyrażenie zapiszemy w postaci sumy, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. 

${\left(\sqrt{x}-1\right)}^2={\left(\sqrt{x}\right)}^2-2\cdot \sqrt{x}\cdot 1+1^2=x-2\sqrt{x}+1$  

Zakładamy, że  $x\ge 1.$  Przekształcamy lewą stronę równania, korzystając z powyższej równości.

$\sqrt{x+2\sqrt{x}+1}-\sqrt{x-2\sqrt{x}+1}=\sqrt{{\left(\sqrt{x}+1\right)}^2}-\sqrt{{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2}=\left|\sqrt{x}+1\right|-\left|\sqrt{x}-1\right|=\sqrt{x}+1-\left(\sqrt{x}-1\right)=\sqrt{x}+1-\sqrt{x}+1=2$  

Co należało dowieść.

---

b) Ponieważ nie istnieje pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia z liczby ujemnej, to zakładamy, że:

$x-4\ge 0$  

$x\ge 4$  

Dane wyrażenie zapiszemy w postaci sumy, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.

${\left(2+\sqrt{x-4}\right)}^2=2^2+2\cdot 2\cdot \sqrt{x-4}+{\left(\sqrt{x-4}\right)}^2=4+4\sqrt{x-4}+x-4=x+4\sqrt{x-4}$  

Zakładamy, że  $x\ge 8.$  Przekształcamy lewą stronę równania, korzystając z powyższej równości.

$\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}+\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}=\sqrt{{\left(2+\sqrt{x-4}\right)}^2}+\sqrt{{\left(2-\sqrt{x-4}\right)}^2}=\left|2+\sqrt{x-4}\right|+\left|2-\sqrt{x-4}\right|=2+\sqrt{x-4}+\left|\sqrt{x-4}-2\right|=2+\sqrt{x-4}+\sqrt{x-4}-2=2\sqrt{x-4}$  

Uwaga! Równość podana w książce zachodzi dla 4≤x≤8.

Gdybyśmy założyli, że  $x\le 8,$  to otrzymalibyśmy:

$\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}+\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}=\sqrt{{\left(2+\sqrt{x-4}\right)}^2}+\sqrt{{\left(2-\sqrt{x-4}\right)}^2}=\left|2+\sqrt{x-4}\right|+\left|2-\sqrt{x-4}\right|=2+\sqrt{x-4}+2-\sqrt{x-4}=4$  

Co należało dowieść.