Rozwiąż równanie ...- Zadanie 10: Matematyka z plusem 3. Zakres podstawowy

Rozwiązanie

a) Najpierw określimy dziedzinę tego równania.

Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$x \neq = 0 \land x + 2 \neq = 0$

$x \neq = 0 \land x \neq = - 2$

Zatem:

$D = R \ {- 2, 0}$

Rozwiązujemy równanie.

$(6 - 3 x) : \frac{x + 2}{x} = 1$

$(6 - 3 x) \cdot \frac{x}{x + 2} = 1$

$\frac{( 6 - 3 x ) \cdot x}{x + 2} = 1$

$\frac{6 x - 3 x ^{2}}{x + 2} = 1$

$\frac{6 x - 3 x ^{2}}{x + 2} - 1 = 0$

$\frac{6 x - 3 x ^{2}}{x + 2} - \frac{x + 2}{x + 2} = 0$

$\frac{6 x - 3 x ^{2} - ( x + 2 )}{x + 2} = 0$

$\frac{6 x - 3 x ^{2} - x - 2}{x + 2} = 0$

$\frac{- 3 x ^{2} + 5 x - 2}{x + 2} = 0$

$- 3 x^{2} + 5 x - 2 = 0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$Δ = 5^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 2) = 25 - 24 = 1$

Wyznaczamy pierwiastki równania $- 3 x^{2} + 5 x - 2 = 0 .$

$x_{1} = \frac{- 5 - 1}{2 \cdot ( - 3 )} = \frac{- 5 - 1}{- 6} = \frac{- 6}{- 6} = 1$

$x_{2} = \frac{- 5 + 1}{2 \cdot ( - 3 )} = \frac{- 5 + 1}{- 6} = \frac{- 4}{- 6} = \frac{2}{3}$

Wobec tego:

$x \in {\frac{2}{3}, 1}$

b) Najpierw określimy dziedzinę tego równania.

$5 - 2 x \neq = 0 \land 3 x \neq = 0$

$- 2 x \neq = - 5 \land 3 x \neq = 0$

$x \neq = \frac{5}{2} \land x \neq = 0$

Zatem:

$D = R \ {0, \frac{5}{2}}$

Rozwiązujemy równanie.

$\frac{7 x - 1}{5 - 2 x} : 3 x = \frac{1}{2}$

$\frac{7 x - 1}{5 - 2 x} \cdot \frac{1}{3 x} = \frac{1}{2}$

$\frac{7 x - 1}{( 5 - 2 x ) \cdot 3 x} = \frac{1}{2}$

$\frac{7 x - 1}{( 5 - 2 x ) \cdot 3 x} - \frac{1}{2} = 0$

$\frac{2 ( 7 x - 1 )}{2 ( 5 - 2 x ) \cdot 3 x} - \frac{( 5 - 2 x ) \cdot 3 x}{2 ( 5 - 2 x ) \cdot 3 x} = 0$

$\frac{14 x - 2}{2 ( 5 - 2 x ) \cdot 3 x} - \frac{15 x - 6 x ^{2}}{2 ( 5 - 2 x ) \cdot 3 x} = 0$

$\frac{14 x - 2 - ( 15 x - 6 x ^{2} )}{2 ( 5 - 2 x ) \cdot 3 x} = 0$

$\frac{14 x - 2 - 15 x + 6 x ^{2}}{2 ( 5 - 2 x ) \cdot 3 x} = 0$

$\frac{6 x ^{2} - x - 2}{2 ( 5 - 2 x ) \cdot 3 x} = 0$

$6 x^{2} - x - 2 = 0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$Δ = (- 1)^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 2) = 1 + 48 = 49$

Wyznaczamy pierwiastki równania $6 x^{2} - x - 2 = 0 .$

$x_{1} = \frac{- ( - 1 ) - 49}{2 \cdot 6} = \frac{1 - 7}{12} = \frac{- 6}{12} = - \frac{1}{2}$

$x_{2} = \frac{- ( - 1 ) + 49}{2 \cdot 6} = \frac{1 + 7}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

Wobec tego:

$x \in {- \frac{1}{2}, \frac{2}{3}}$

c) Najpierw określimy dziedzinę tego równania.

$x + 2 \neq = 0 \land x + 1 \neq = 0 \land x^{2} - 4 \neq = 0$

$x \neq = - 2 \land x \neq = - 1 \land (x + 2) (x - 2) \neq = 0$

$x \neq = - 2 \land x \neq = - 1 \land x + 2 \neq = 0 \land x - 2 \neq = 0$

$x \neq = - 2 \land x \neq = - 1 \land \neq = 2$

Zatem:

$D = R \ {- 2, - 1, 2}$

Rozwiązujemy równanie.

$\frac{- 2}{x + 2} : \frac{x + 1}{x ^{2} - 4} = - 3$

$\frac{- 2}{x + 2} : \frac{x + 1}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = - 3$

$\frac{- 2}{x + 2} \cdot \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x + 1} = - 3$

$\frac{- 2}{1} \cdot \frac{x - 2}{x + 1} = - 3$

$\frac{- 2 ( x - 2 )}{x + 1} = - 3$

$\frac{- 2 ( x - 2 )}{x + 1} + 3 = 0$

$\frac{- 2 ( x - 2 )}{x + 1} + \frac{3 ( x + 1 )}{x + 1} = 0$

$\frac{- 2 x + 4}{x + 1} + \frac{3 x + 3}{x + 1} = 0$

$\frac{- 2 x + 4 + 3 x + 3}{x + 1} = 0$

$\frac{x + 7}{x + 1} = 0$

$x + 7 = 0$

$x = - 7$

d) Najpierw określimy dziedzinę tego równania.

$x \neq = 0 \land 2 x \neq = 0 \land x + 1 \neq = 0$

$x \neq = 0 \land x \neq = 0 \land x \neq = - 1$

$x \neq = 0 \land x \neq = - 1$

Zatem:

$D = R \ {- 1, 0}$

Rozwiązujemy równanie.

$\frac{x - 5}{x} : \frac{2 x}{x + 1} = \frac{x + 1}{x}$

$\frac{x - 5}{x} \cdot \frac{x + 1}{2 x} = \frac{x + 1}{x}$

$\frac{( x - 5 ) ( x + 1 )}{x \cdot 2 x} = \frac{x + 1}{x}$

$\frac{x ^{2} + x - 5 x - 5}{2 x ^{2}} = \frac{x + 1}{x}$

$\frac{x ^{2} - 4 x - 5}{2 x ^{2}} = \frac{x + 1}{x}$

$\frac{x ^{2} - 4 x - 5}{2 x ^{2}} - \frac{x + 1}{x} = 0$

$\frac{x ^{2} - 4 x - 5}{2 x ^{2}} - \frac{( x + 1 ) \cdot 2 x}{x \cdot 2 x} = 0$

$\frac{x ^{2} - 4 x - 5}{2 x ^{2}} - \frac{2 x ^{2} + 2 x}{2 x ^{2}} = 0$

$\frac{x ^{2} - 4 x - 5 - ( 2 x ^{2} + 2 x )}{2 x ^{2}} = 0$

$\frac{x ^{2} - 4 x - 5 - 2 x ^{2} - 2 x}{2 x ^{2}} = 0$

$\frac{- x ^{2} - 6 x - 5}{2 x ^{2}} = 0$

$- x^{2} - 6 x - 5 = 0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$Δ = (- 6)^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5) = 36 - 20 = 16$

Wyznaczamy pierwiastki równania $- x^{2} - 6 x - 5 = 0 .$

$x_{1} = \frac{- ( - 6 ) - 16}{2 \cdot ( - 1 )} = \frac{6 - 4}{- 2} = \frac{2}{- 2} = - 1 \in / D$

$x_{2} = \frac{- ( - 6 ) + 16}{2 \cdot ( - 1 )} = \frac{6 + 4}{- 2} = \frac{10}{- 2} = - 5$

Wobec tego:

$x = - 5$

e) Najpierw określimy dziedzinę tego równania.

$2 x^{4} - x^{3} \neq = 0 \land 6 x + 4 \neq = 0 \land 4 x^{3} - x \neq = 0 \land x^{3} \neq = 0$

$x^{3} (2 x - 1) \neq = 0 \land 6 x \neq = - 4 \land x (4 x^{2} - 1) \neq = 0 \land x \neq = 0$

$x^{3} \neq = 0 \land 2 x - 1 \neq = 0 \land x \neq = - \frac{2}{3} \land x (2 x - 1) (2 x + 1) \neq = 0 \land x \neq = 0$

$x \neq = 0 \land 2 x \neq = 1 \land x \neq = - \frac{2}{3} \land 2 x - 1 \neq = 0 \land 2 x + 1 \neq = 0$

$x \neq = 0 \land x \neq = \frac{1}{2} \land x \neq = - \frac{2}{3} \land 2 x \neq = - 1$

$x \neq = 0 \land x \neq = \frac{1}{2} \land x \neq = - \frac{2}{3} \land x \neq = - \frac{1}{2}$

Zatem:

$D = R \ {- \frac{2}{3}, - \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}}$

Rozwiązujemy równanie.

$\frac{3 x + 2}{2 x ^{4} - x ^{3}} : \frac{6 x + 4}{4 x ^{3} - x} = \frac{6 x + 3}{x ^{3}}$

$\frac{3 x + 2}{2 x ^{4} - x ^{3}} \cdot \frac{4 x ^{3} - x}{6 x + 4} = \frac{6 x + 3}{x ^{3}}$

$\frac{3 x + 2}{2 x ^{4} - x ^{3}} \cdot \frac{4 x ^{3} - x}{2 ( 3 x + 2 )} = \frac{6 x + 3}{x ^{3}}$

$\frac{1}{2 x ^{4} - x ^{3}} \cdot \frac{4 x ^{3} - x}{2} = \frac{6 x + 3}{x ^{3}}$

$\frac{4 x ^{3} - x}{2 ( 2 x ^{4} - x ^{3} )} = \frac{6 x + 3}{x ^{3}}$

$\frac{4 x ^{3} - x}{2 x ^{3} ( 2 x - 1 )} - \frac{6 x + 3}{x ^{3}} = 0$

$\frac{4 x ^{3} - x}{2 x ^{3} ( 2 x - 1 )} - \frac{( 6 x + 3 ) \cdot 2 ( 2 x - 1 )}{x ^{3} \cdot 2 ( 2 x - 1 )} = 0$

$\frac{4 x ^{3} - x}{2 x ^{3} ( 2 x - 1 )} - \frac{( 6 x + 3 ) ( 4 x - 2 )}{2 x ^{3} ( 2 x - 1 )} = 0$

$\frac{4 x ^{3} - x}{2 x ^{3} ( 2 x - 1 )} - \frac{24 x ^{2} - 12 x + 12 x - 6}{2 x ^{3} ( 2 x - 1 )} = 0$

$\frac{4 x ^{3} - x}{2 x ^{3} ( 2 x - 1 )} - \frac{24 x ^{2} - 6}{2 x ^{3} ( 2 x - 1 )} = 0$

$\frac{4 x ^{3} - x - ( 24 x ^{2} - 6 )}{2 x ^{3} ( 2 x - 1 )} = 0$

$\frac{4 x ^{3} - x - 24 x ^{2} + 6}{2 x ^{3} ( 2 x - 1 )} = 0$

$\frac{4 x ^{3} - 24 x ^{2} - x + 6}{2 x ^{3} ( 2 x - 1 )} = 0$

$4 x^{3} - 24 x^{2} - x + 6 = 0$

$4 x^{2} (x - 6) - (x - 6) = 0$

$(x - 6) (4 x^{2} - 1) = 0$

$(x - 6) (2 x - 1) (2 x + 1) = 0$

$x - 6 = 0 \lor 2 x - 1 = 0 \lor 2 x + 1 = 0$

$x = 6 \lor 2 x = 1 \lor 2 x = - 1$

$x = 6 \lor x = \in / D \frac{1}{2} \lor x = \in / D - \frac{1}{2}$

Wobec tego:

$x = 6$

f) Najpierw określimy dziedzinę tego równania.

$5 - x \neq = 0 \land 9 - x^{2} \neq = 0 \land 25 - 10 x + x^{2} \neq = 0 \land 6 + 2 x \neq = 0$

$- x \neq = - 5 \land (3 - x) (3 + x) \neq = 0 \land (5 - x)^{2} \neq = 0 \land 2 x \neq = - 6$

$x \neq = 5 \land 3 - x \neq = 0 \land 3 + x \neq = 0 \land x \neq = - 3$

$x \neq = 5 \land - x \neq = - 3 \land x \neq = - 3 \land x \neq = - 3$

$x \neq = 5 \land x \neq = 3 \land x \neq = - 3$

Zatem:

$D = R \ {- 3, 3, 5}$

Rozwiązujemy równanie.

$\frac{- x ^{2} + x + 6}{5 - x} : \frac{9 - x ^{2}}{25 - 10 x + x ^{2}} = \frac{x + 2}{6 + 2 x}$

$\frac{- ( x ^{2} - x - 6 )}{5 - x} : \frac{( 3 - x ) ( 3 + x )}{( 5 - x ) ^{2}} = \frac{x + 2}{6 + 2 x}$

$\frac{- ( x ^{2} + 2 x - 3 x - 6 )}{5 - x} \cdot \frac{( 5 - x ) ^{2}}{( 3 - x ) ( 3 + x )} = \frac{x + 2}{6 + 2 x}$

$\frac{- ( x ( x + 2 ) - 3 ( x + 2 ) )}{5 - x} \cdot \frac{( 5 - x ) ^{2}}{- ( x - 3 ) ( 3 + x )} = \frac{x + 2}{6 + 2 x}$

$\frac{- ( x + 2 ) ( x - 3 )}{5 - x} \cdot \frac{( 5 - x ) ^{2}}{- ( x - 3 ) ( 3 + x )} = \frac{x + 2}{6 + 2 x}$

$\frac{x + 2}{1} \cdot \frac{5 - x}{3 + x} = \frac{x + 2}{6 + 2 x}$

$\frac{( x + 2 ) ( 5 - x )}{3 + x} = \frac{x + 2}{6 + 2 x}$

$\frac{( x + 2 ) ( 5 - x )}{3 + x} - \frac{x + 2}{6 + 2 x} = 0$

$\frac{( x + 2 ) ( 5 - x )}{3 + x} - \frac{x + 2}{2 ( 3 + x )} = 0$

$\frac{2 ( x + 2 ) ( 5 - x )}{2 ( 3 + x )} - \frac{x + 2}{2 ( 3 + x )} = 0$

$\frac{2 ( - x ^{2} + 3 x + 10 )}{2 ( 3 + x )} - \frac{x + 2}{2 ( 3 + x )} = 0$

$\frac{- 2 x ^{2} + 6 x + 20}{2 ( 3 + x )} - \frac{x + 2}{2 ( 3 + x )} = 0$

$\frac{- 2 x ^{2} + 6 x + 20 - ( x + 2 )}{2 ( 3 + x )} = 0$

$\frac{- 2 x ^{2} + 6 x + 20 - x - 2}{2 ( 3 + x )} = 0$

$\frac{- 2 x ^{2} + 5 x + 18}{2 ( 3 + x )} = 0$

$- 2 x^{2} + 5 x + 18 = 0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$Δ = 5^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 18 = 25 + 144 = 169$

Wyznaczamy pierwiastki równania $- 2 x^{2} + 5 x + 18 = 0 .$

$x_{1} = \frac{- 5 - 169}{2 \cdot ( - 2 )} = \frac{- 5 - 13}{- 4} = \frac{- 18}{- 4} = \frac{9}{2}$

$x_{2} = \frac{- 5 + 169}{2 \cdot ( - 2 )} = \frac{- 5 + 13}{- 4} = \frac{8}{- 4} = - 2$

Wobec tego:

$x \in {- 2, \frac{9}{2}}$

Agnieszka Sermak

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Równania wymierne

Premium

14:04

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Metoda graficzna rozwiązywania równań

Premium

8:44

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Zadania tekstowe z układami równań (1)

Premium

11:09

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.