Rozwiąż równanie ...- Zadanie 5: Matematyka z plusem 3. Zakres podstawowy

Rozwiązanie

a) Najpierw określimy dziedzinę tego równania.

Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$x + 1 \neq = 0$

$x \neq = - 1$

Zatem:

$D = R \ {- 1}$

Rozwiązujemy równanie.

$(x - 1) (x + 1) = x ∣ \cdot (x + 1)$

$x - 1 = x (x + 1)$

$x - 1 = x^{2} + x ∣ - x$

$- 1 = x^{2}$

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, zatem:

$x \in \emptyset$

Równanie jest sprzeczne (nie ma rozwiązań).

b) Najpierw określimy dziedzinę tego równania.

$x \neq = 0$

Zatem:

$D = R \ {0}$

Rozwiązujemy równanie.

$x + \frac{1}{x} = 2 ∣ \cdot x$

$x^{2} + 1 = 2 x ∣ - 2 x$

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

$(x - 1)^{2} = 0$

$x - 1 = 0 ∣ + 1$

$x = 1$

c) Najpierw określimy dziedzinę tego równania.

$x - 4 \neq = 0$

$x \neq = 4$

Zatem:

$D = R \ {4}$

Rozwiązujemy równanie.

$2 - 5 x = \frac{8}{x - 4} ∣ \cdot (x - 4)$

$(2 - 5 x) (x - 4) = 8$

$2 x - 8 - 5 x^{2} + 20 x = 8$

$- 5 x^{2} + 22 x - 8 = 8 ∣ - 8$

$- 5 x^{2} + 22 x - 16 = 0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$Δ = 22^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 16) = 484 - 320 = 164$

Ponieważ $Δ > 0,$ to równanie $- 5 x^{2} + 22 x - 16 = 0$ ma dwa rozwiązania.

$x_{1} = \frac{- 22 - 164}{2 \cdot ( - 5 )} = \frac{- 22 - 2 41}{2 \cdot ( - 5 )} = \frac{- 11 - 41}{- 5} = - \frac{- 11 - 41}{5} = \frac{11 + 41}{5}$

$x_{2} = \frac{- 22 + 164}{2 \cdot ( - 5 )} = \frac{- 22 + 2 41}{2 \cdot ( - 5 )} = \frac{- 11 + 41}{- 5} = - \frac{- 11 + 41}{5} = \frac{11 - 41}{5}$

Wobec tego:

$x \in {\frac{11 - 41}{5}, \frac{11 + 41}{5}}$

d) Najpierw określimy dziedzinę tego równania.

$x + 2 \neq = 0$

$x \neq = - 2$

Zatem:

$D = R \ {- 2}$

Rozwiązujemy równanie.

$3 - \frac{3}{x + 2} = 2 x ∣ \cdot (x + 2)$

$3 (x + 2) - 3 = 2 x (x + 2)$

$3 x + 6 - 3 = 2 x^{2} + 4 x$

$3 x + 3 = 2 x^{2} + 4 x ∣ - 3 x$

$3 = 2 x^{2} + x ∣ - 3$

$0 = 2 x^{2} + x - 3$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$Δ = 1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3) = 1 + 24 = 25$

Ponieważ $Δ > 0,$ to równanie $2 x^{2} + x - 3 = 0$ ma dwa rozwiązania.

$x_{1} = \frac{- 1 - 25}{2 \cdot 2} = \frac{- 1 - 5}{4} = \frac{- 6}{4} = - \frac{3}{2}$

$x_{2} = \frac{- 1 + 25}{2 \cdot 2} = \frac{- 1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Wobec tego:

$x \in {- \frac{3}{2}, 1}$

e) Najpierw określimy dziedzinę tego równania.

$3 x + 2 \neq = 0$

$3 x \neq = - 2$

$x \neq = - \frac{2}{3}$

Zatem:

$D = R \ {- \frac{2}{3}}$

Rozwiązujemy równanie.

$x - 5 = \frac{3 x ^{2}}{3 x + 2} ∣ \cdot (3 x + 2)$

$(x - 5) (3 x + 2) = 3 x^{2}$

$3 x^{2} + 2 x - 15 x - 10 = 3 x^{2} ∣ - 3 x^{2}$

$- 13 x - 10 = 0 ∣ + 10$

$- 13 x = 10 ∣ : (- 13)$

$x = - \frac{10}{13}$

f) Najpierw określimy dziedzinę tego równania.

$5 x - 1 \neq = 0$

$5 x \neq = 1$

$x \neq = \frac{1}{5}$

Zatem:

$D = R \ {\frac{1}{5}}$

Rozwiązujemy równanie.

$(2 x + 1) - \frac{3 x}{5 x - 1} = 0 ∣ \cdot (5 x - 1)$

$(2 x + 1) (5 x - 1) - 3 x = 0$

$10 x^{2} - 2 x + 5 x - 1 - 3 x = 0$

$10 x^{2} + 3 x - 1 - 3 x = 0$

$10 x^{2} - 1 = 0 ∣ + 1$

$10 x^{2} = 1 ∣ : 10$

$x^{2} = \frac{1}{10}$

$∣ x ∣ = \frac{1}{10}$

$∣ x ∣ = \frac{10}{10}$

$x = \frac{10}{10} \lor x = - \frac{10}{10}$

Wobec tego:

$x \in {- \frac{10}{10}, \frac{10}{10}}$

g) Najpierw określimy dziedzinę tego równania.

$6 x + 1 \neq = 0 \land 4 x - 1 \neq = 0$

$6 x \neq = - 1 \land 4 x \neq = 1$

$x \neq = - \frac{1}{6} \land x \neq = \frac{1}{4}$

Zatem:

$D = R \ {- \frac{1}{6}, \frac{1}{4}}$

Rozwiązujemy równanie.

$\frac{3 x - 4}{6 x + 1} = \frac{2 x + 7}{4 x - 1}$

Korzystamy z własności proporcji.

$(3 x - 4) (4 x - 1) = (2 x + 7) (6 x + 1)$

$12 x^{2} - 3 x - 16 x + 4 = 12 x^{2} + 2 x + 42 x + 7 ∣ - 12 x^{2}$

$- 19 x + 4 = 44 x + 7 ∣ + 19 x$

$4 = 63 x + 7 ∣ - 7$

$- 3 = 63 x ∣ : 63$

$- \frac{1}{21} = x$

Wobec tego:

$x = - \frac{1}{21}$

h) Najpierw określimy dziedzinę tego równania.

$2 - 3 x \neq = 0 \land 6 - 5 x \neq = 0$

$- 3 x \neq = - 2 \land - 5 x \neq = - 6$

$x \neq = \frac{2}{3} \land x \neq = \frac{6}{5}$

Zatem:

$D = R \ {\frac{2}{3}, \frac{6}{5}}$

Rozwiązujemy równanie.

$\frac{6 x - 5}{2 - 3 x} - \frac{10 x}{6 - 5 x} = 0$

$\frac{( 6 x - 5 ) ( 6 - 5 x )}{( 2 - 3 x ) ( 6 - 5 x )} - \frac{10 x ( 2 - 3 x )}{( 6 - 5 x ) ( 2 - 3 x )} = 0$

$\frac{36 x - 30 x ^{2} - 30 + 25 x}{( 2 - 3 x ) ( 6 - 5 x )} - \frac{20 x - 30 x ^{2}}{( 6 - 5 x ) ( 2 - 3 x )} = 0$

$\frac{- 30 x ^{2} + 61 x - 30}{( 2 - 3 x ) ( 6 - 5 x )} - \frac{20 x - 30 x ^{2}}{( 6 - 5 x ) ( 2 - 3 x )} = 0$

$\frac{- 30 x ^{2} + 61 x - 30 - ( 20 x - 30 x ^{2} )}{( 6 - 5 x ) ( 2 - 3 x )} = 0$

$\frac{- 30 x ^{2} + 61 x - 30 - 20 x + 30 x ^{2}}{( 6 - 5 x ) ( 2 - 3 x )} = 0$

$\frac{41 x - 30}{( 6 - 5 x ) ( 2 - 3 x )} = 0$

$41 x - 30 = 0 ∣ + 30$

$41 x = 30 ∣ : 41$

$x = \frac{30}{41}$

i) Najpierw określimy dziedzinę tego równania.

$4 x + 1 \neq = 0 \land 5 - 8 x \neq = 0$

$4 x \neq = - 1 \land - 8 x \neq = - 5$

$x \neq = - \frac{1}{4} \land x \neq = \frac{5}{8}$

Zatem:

$D = R \ {- \frac{1}{4}, \frac{5}{8}}$

Rozwiązujemy równanie.

$\frac{7}{4 x + 1} + \frac{2 x + 3}{5 - 8 x} = 0$

$\frac{7 ( 5 - 8 x )}{( 4 x + 1 ) ( 5 - 8 x )} + \frac{( 2 x + 3 ) ( 4 x + 1 )}{( 5 - 8 x ) ( 4 x + 1 )} = 0$

$\frac{35 - 56 x}{( 4 x + 1 ) ( 5 - 8 x )} + \frac{8 x ^{2} + 2 x + 12 x + 3}{( 5 - 8 x ) ( 4 x + 1 )} = 0$

$\frac{35 - 56 x}{( 4 x + 1 ) ( 5 - 8 x )} + \frac{8 x ^{2} + 14 x + 3}{( 5 - 8 x ) ( 4 x + 1 )} = 0$

$\frac{35 - 56 x + 8 x ^{2} + 14 x + 3}{( 5 - 8 x ) ( 4 x + 1 )} = 0$

$\frac{8 x ^{2} - 42 x + 38}{( 5 - 8 x ) ( 4 x + 1 )} = 0$

$8 x^{2} - 42 x + 38 = 0 ∣ : 2$

$4 x^{2} - 21 x + 19 = 0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$Δ = (- 21)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 19 = 441 - 304 = 137$

Ponieważ $Δ > 0,$ to równanie $4 x^{2} - 21 x + 19 = 0$ ma dwa rozwiązania.

$x_{1} = \frac{- ( - 21 ) - 137}{2 \cdot 4} = \frac{21 - 137}{8}$

$x_{2} = \frac{- ( - 21 ) + 137}{2 \cdot 4} = \frac{21 + 137}{8}$

Wobec tego:

$x \in {\frac{21 - 137}{8}, \frac{21 + 137}{8}}$

Agnieszka Sermak

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Równania wymierne

Premium

14:04

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Zadania tekstowe z układami równań (1)

Premium

11:09

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Metoda graficzna rozwiązywania równań

Premium

8:44

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.