Określ dziedzinę podanego wyrażenia ...- Zadanie 4: Matematyka z plusem 3. Zakres podstawowy

Rozwiązanie

a) Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$(x + 5)^{2} \neq = 0$

$x + 5 \neq = 0$

$x \neq = - 5$

Zatem:

$x \in R \ {- 5}$

Upraszczamy dane wyrażenie.

$\frac{x ^{2} - 25}{( x + 5 ) ^{2}} = \frac{( x + 5 ) ( x - 5 )}{( x + 5 ) ^{2}} = \frac{x - 5}{x + 5}$

b) Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$16 x^{2} - 100 \neq = 0$

$(4 x + 10) (4 x - 10) \neq = 0$

$4 x + 10 \neq = 0 \land 4 x - 10 \neq = 0$

$4 x \neq = - 10 \land 4 x \neq = 10$

$x \neq = - \frac{5}{2} \land x \neq = \frac{5}{2}$

Zatem:

$x \in R \ {- \frac{5}{2}, \frac{5}{2}}$

Upraszczamy dane wyrażenie.

$\frac{20 x - 50}{16 x ^{2} - 100} = \frac{5 ( 4 x - 10 )}{( 4 x + 10 ) ( 4 x - 10 )} = \frac{5}{4 x + 10}$

c) Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$x^{2} - 4 \neq = 0$

$(x + 2) (x - 2) \neq = 0$

$x + 2 \neq = 0 \land x - 2 \neq = 0$

$x \neq = - 2 \land x \neq = 2$

Zatem:

$x \in R \ {- 2, 2}$

Upraszczamy dane wyrażenie.

$\frac{x ^{3} - 8}{x ^{2} - 4} = \frac{( x - 2 ) ( x ^{2} + 2 x + 4 )}{( x + 2 ) ( x - 2 )} = \frac{x ^{2} + 2 x + 4}{x + 2}$

d) Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$1000 x^{3} - 1 \neq = 0$

$(10 x - 1) (100 x^{2} + 10 x + 1) \neq = 0$

$10 x - 1 \neq = 0 \land 100 x^{2} + 10 x + 1 \neq = 0$

Trójmian kwadratowy jest nierozkładalny, ponieważ jego wyróżnik jest liczbą ujemną:

$Δ = 10^{2} - 4 \cdot 100 \cdot 1 = 100 - 400 = - 300$

Wobec tego:

$10 x - 1 \neq = 0$

$10 x \neq = 1$

$x \neq = \frac{1}{10}$

Zatem:

$x \in R \ {\frac{1}{10}}$

Upraszczamy dane wyrażenie.

$\frac{300 x ^{2} - 3}{1000 x ^{3} - 1} = \frac{3 ( 100 x ^{2} - 1 )}{( 10 x - 1 ) ( 100 x ^{2} + 10 x + 1 )} = \frac{3 ( 10 x + 1 ) ( 10 x - 1 )}{( 10 x - 1 ) ( 100 x ^{2} + 10 x + 1 )} = \frac{3 ( 10 x + 1 )}{100 x ^{2} + 10 x + 1} = \frac{30 x + 3}{100 x ^{2} + 10 x + 1}$

e) Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$x^{2} - 6 x - 7 \neq = 0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego i wyznaczamy jego pierwiastki (o ile istnieją).

$Δ = (- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7) = 36 + 28 = 64$

$x_{1} = \frac{- ( - 6 ) - 64}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 8}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1$

$x_{2} = \frac{- ( - 6 ) + 64}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Zatem:

$x \in R \ {- 1, 7}$

Zanim uprościmy dane wyrażenie wyznaczymy pierwiastki trójmianu znajdującego się w liczniku ułamka.

$Δ = (- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14) = 25 + 56 = 81$

$x_{1} = \frac{- ( - 5 ) - 81}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 9}{2} = \frac{- 4}{2} = - 2$

$x_{2} = \frac{- ( - 5 ) + 81}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Mamy więc:

$\frac{x ^{2} - 5 x - 14}{x ^{2} - 6 x - 7} = \frac{( x + 2 ) ( x - 7 )}{( x + 1 ) ( x - 7 )} = \frac{x + 2}{x + 1}$

f) Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$x^{2} + 6 x + 5 \neq = 0$