Wykonajmy rysunek pomocniczy.

---

Objętość

Objętość sześcianu o krawędzi długości a wynosi:

$V=a^3$  

Teraz obliczymy objętość ostrosłupa (niebieski wielościan).

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny równoramienny. Obliczamy jego pole.

$P_p=\frac{a\cdot a}{2}=\frac{a^2}{2}$  

Wysokość ostrosłupa ma długość a, zatem jego objętość jest równa:

$V_1=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2}{2}\cdot a=\frac{a^3}{6}$  

Wyznaczamy jeszcze objętość drugiej bryły (powstałej przez rozcięcie sześcianu).

$V_2=V-V_1=a^3-\frac{a^3}{6}=\frac{5a^3}{6}$  

---

Pole powierzchni

Największa ściana boczna ostrosłupa jest trójkątem równobocznym o boku długości a. Wyznaczamy jej pole, korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego.

$P_{\Delta }=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$  

Pozostałe trzy ściany ostrosłupa mają takie same pola (równe polu podstawy). Wyznaczamy pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.

$P_1=P_{\Delta }+3\cdot P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+3\cdot \frac{a^2}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+\frac{3a^2}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+\frac{6a^2}{4}=\frac{a^2\sqrt{3}+6a^2}{4}=\frac{a^2\left(6+\sqrt{3}\right)}{4}$  

Na powierzchnię drugiej bryły składają się: ściana o polu P_△, trzy ściany o polu równym polu podstawy ostrosłupa i trzy ściany w kształcie kwadratu o boku długości a. Wobec tego:

$P_2=P_{\Delta }+3\cdot P_p+3\cdot a^2=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+3\cdot \frac{a^2}{2}+3a^2=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+\frac{3a^2}{2}+3a^2=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+\frac{6a^2}{4}+\frac{12a^2}{4}=\frac{a^2\sqrt{3}+18a^2}{4}=\frac{a^2\left(\sqrt{3}+18\right)}{4}$