Treść:

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian kwadratowy
$4x^2-2\left(m+1\right)x+m$   

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1 oraz x2, spełniające warunki:

$x_1\ne 0,x_2\ne 0\text{ oraz }{x}_1+x_2\le \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$     

 

Rozwiązanie:

$4x^2-2\left(m+1\right)x+m$  

 

Wyznaczmy wartości parametru m, dla których trójmian ma 2 różne pierwiastki rzeczywiste.

$\Delta >0$  

   $\Delta ={\left(-2\left(m+1\right)\right)}^2-4\cdot 4\cdot m=4m^2+8m+4-16m=4m^2-8m+4=4\cdot \left(m-2m+1\right)=4\cdot {\left(m-1\right)}^2$  

$4\cdot {\left(m-1\right)}^2>0$   - nierówność jest spełniona dla każdego m różnego od 1.

$m\in \mathbb{R}\text{}\left\{1\right\}$   - dla takich wartości parametru m trójmian ma 2 różne pierwiastki rzeczywiste.

---

Chcemy, aby oba pierwiastki były liczbami różnymi od 0 - a więc ich iloczyn musi być liczbą różną od 0.