Treść:

Punkt A = (3,-5) jest wierzchołkiem kwadratu ABCD, a punkt M =(1,3) jest punktem przecięcia się przekątnych tego kwadratu. Wynika stąd, że pole kwadratu ABCD jest równe

A. 68

B. 136

C. 2√34

D. 8√34

---

Rozwiązanie:

Korzystając ze wzoru na długość odcinka obliczamy długość odcinka AM

$\left|AM\right|=\sqrt{{\left(1-3\right)}^2+{\left(3-\left(-5\right)\right)}^2}=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+8^2}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$

Zauważmy, że długość odcinka AM jest równa połowie długości przekątnej d kwadratu ABCD, czyli

$\frac{1}{2}d=\left|AM\right|$  

$d=2\cdot \left|AM\right|=2\cdot 2\sqrt{17}=4\sqrt{17}$  

Przekątne kwadratu są równej długości. 

Każdy kwadrat jest w szczególności rombem, czyli pole kwadratu możemy policzyć korzystając ze wzoru na pole rombu 

$P_{ABCD}=\frac{d^2}{2}=\frac{{\left(4\sqrt{17}\right)}^2}{2}=\frac{16\cdot 17}{2}=8\cdot 17=136$

 

Odp. B.