$\text{a)}$  

$\underset{x\to 1}{\lim }\left(2x-3\right)=-1$  

Bierzemy dowolny ciąg argumentów  $\left(x_n\right)$  taki, że  $x_n\ne 1$  oraz  $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=1$ .

Wtedy 

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(2x_n-3\right)=2\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n-\underset{n\to +\infty }{\lim }3=2\cdot 1-3=2-3=-1,$  

zatem pokazaliśmy, że:

$\underset{x\to 1}{\lim }\left(2x-3\right)=-1$  

$\text{b)}$  

$\underset{x\to -2}{\lim }\left(x^3+1\right)=-7$  

Bierzemy dowolny ciąg argumentów  $\left(x_n\right)$  taki, że  $x_n\ne -2$  oraz  $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=-2$ .

Wtedy 

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(x_n^3+1\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n^3+\underset{n\to +\infty }{\lim }1={\left(-2\right)}^3+1=-8+1=-7,$  

zatem pokazaliśmy, że:

$\underset{x\to -2}{\lim }\left(x^3+1\right)=-7$  

$\text{c)}$  

$\underset{x\to 2}{\lim }\left(x^2+1\right)=5$  

Bierzemy dowolny ciąg argumentów  $\left(x_n\right)$  taki, że  $x_n\ne 2$  oraz  $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=2$ .

Wtedy 

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(x_n^2+1\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n^2+\underset{n\to +\infty }{\lim }1=2^2+1=4+1=5,$  

zatem pokazaliśmy, że:

$\underset{x\to 2}{\lim }\left(x^2+1\right)=5$  

$\text{d)}$  

$\underset{x\to 2}{\lim }\left(x^2-2x\right)=0$   

Bierzemy dowolny ciąg argumentów  $\left(x_n\right)$  taki, że  $x_n\ne 2$  oraz  $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=2$ .

Wtedy 

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(x_n^2-2x_n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n^2-2\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=2^2-2\cdot 2=4-4=0,$  

zatem pokazaliśmy, że:

$\underset{x\to 2}{\lim }\left(x^2-2x\right)=0$