Przypadek I - oś symetrii przechodzi przez dłuższy bok prostokąta.

Przyjmijmy oznaczenia jak na na rysunkach poniżej:

Prostokątem, który obracano jest prostokąt ABCD.

---

Mamy dane:

$H=12\text{cm}$  

$r=10\text{cm}$  

Wówczas:

$R=10+3=13\left[\text{cm}\right]$  

---

Obliczamy pole podstawy pierwszego walca:

$P_{p_1}=\pi r^2=\pi \cdot {10}^2=100\pi \left[{\text{cm}}^2\right]$  

---

Obliczamy pole powierzchni bocznej pierwszego walca:

$P_{b_1}=2\pi rH=2\pi \cdot 10\cdot 12=240\pi \left[{\text{cm}}^2\right]$  

---

Obliczamy pole powierzchni całkowitej pierwszego walca:

$P_{c_1}=2P_{p_1}+P_{b_1}=2\cdot 100\pi +240\pi =200\pi +240\pi =440\pi \left[{\text{cm}}^2\right]$  

---

---

Obliczamy pole podstawy drugiego walca:

$P_{p_2}=\pi R^2=\pi \cdot {13}^2=169\pi \left[{\text{cm}}^2\right]$  

---

Obliczamy pole powierzchni bocznej drugiego walca:

$P_{b_2}=2\pi RH=2\pi \cdot 13\cdot 12=312\pi \left[{\text{cm}}^2\right]$  

---

Obliczamy pole powierzchni całkowitej drugiego walca:

$P_{c_2}=2P_{p_2}+P_{b_2}=2\cdot 169\pi +312\pi =338\pi +312\pi =650\pi \left[{\text{cm}}^2\right]$  

---

Obliczamy obliczamy, o ile pole powierzchni całkowitej pierwszego walca jest mniejsze od pola powierzchni drugiego walca:

$P_{c_2}-P_{c_1}=650-440=210\left[{\text{cm}}^2\right]$  

Obliczamy, jaki to procent pola drugiego walca:

$\frac{P_{c_2}-P_{c_1}}{P_{c_2}}=\frac{210}{650}=\frac{21}{65}\approx 0,323=32,3\%$  

---

Odp. Pole powierzchni pierwszego walca jest o około 32,3% mniejsze od pola powierzchni drugiego walca.

---

---

Przypadek II - oś symetrii przechodzi przez krótszy bok prostokąta.

Prostokątem, który obracano jest prostokąt ABCD.

---

Mamy dane:

$H=20\text{cm}$  

$r=6\text{cm}$  

Wówczas:

$R=6+3=9\left[\text{cm}\right]$  

---

Obliczamy pole podstawy pierwszego walca:

$P_{p_1}=\pi r^2=\pi \cdot 6^2=36\pi \left[{\text{cm}}^2\right]$  

---

Obliczamy pole powierzchni bocznej pierwszego walca:

$P_{b_1}=2\pi rH=2\pi \cdot 6\cdot 20=240\pi \left[{\text{cm}}^2\right]$  

---

Obliczamy pole powierzchni całkowitej pierwszego walca:

$P_{c_1}=2P_{p_1}+P_{b_1}=2\cdot 36\pi +240\pi =72\pi +240\pi =312\pi \left[{\text{cm}}^2\right]$  

---

---

Obliczamy pole podstawy drugiego walca:

$P_{p_2}=\pi R^2=\pi \cdot 9^2=81\pi \left[{\text{cm}}^2\right]$  

---

Obliczamy pole powierzchni bocznej drugiego walca:

$P_{b_2}=2\pi RH=2\pi \cdot 9\cdot 20=360\pi \left[{\text{cm}}^2\right]$  

---

Obliczamy pole powierzchni całkowitej drugiego walca:

$P_{c_2}=2P_{p_2}+P_{b_2}=2\cdot 81\pi +360\pi =162\pi +360\pi =522\pi \left[{\text{cm}}^2\right]$  

---

Obliczamy obliczamy, o ile pole powierzchni całkowitej pierwszego walca jest mniejsze od pola powierzchni drugiego walca:

$P_{c_2}-P_{c_1}=522-312=210\left[{\text{cm}}^2\right]$  

Obliczamy, jaki to procent pola drugiego walca:

$\frac{P_{c_2}-P_{c_1}}{P_{c_2}}=\frac{210}{522}\approx 0,422=42,2\%$  

---

Odp. Pole powierzchni pierwszego walca jest o około 42,2% mniejsze od pola powierzchni drugiego walca.