Zbadaj ciągłość funkcji f ...- Zadanie 13: Matematyka poznać, zrozumieć 3. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

$a)$

Funkcja $f$ jest określona w punkcie $x_{0} = - 1$ .

Załóżmy, że $(x_{n})$ jest dowolnym ciągiem argumentów funkcji $f$ takim, że $x_{n} \neq = - 1$ oraz $n \to + \infty lim x_{n} = - 1$ . Wtedy

$n \to + \infty lim f (x_{n}) = n \to + \infty lim \frac{3}{x _{n} - 6} = \frac{3}{- 1 - 6} = \frac{3}{- 7} = - \frac{3}{7}$

Zauważmy, że:

$f (- 1) = \frac{3}{7}$

Funkcja $f$ nie jest ciągła w punkcie $x_{0} = - 1$ , ponieważ $x \to - 1 lim f (x) \neq = f (- 1) .$

$b)$

Funkcja $f$ jest określona w punkcie $x_{0} = 2$ .

Załóżmy, że $(x_{n})$ jest dowolnym ciągiem argumentów funkcji $f$ takim, że $x_{n} \neq = 2$ oraz $n \to + \infty lim x_{n} = 2$ . Wtedy

$n \to + \infty lim f (x_{n}) = n \to + \infty lim \frac{x _{n}}{x _{n} + 4} = \frac{2}{2 + 4} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Zauważmy, że:

$f (2) = \frac{1}{3}$

Funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_{0} = 2$ , ponieważ $x \to 2 lim f (x) = f (2) .$

$c)$

Funkcja $f$ jest określona w punkcie $x_{0} = 3$ .

Załóżmy, że $(x_{n})$ jest dowolnym ciągiem argumentów funkcji $f$ takim, że $x_{n} \neq = 3$ oraz $n \to + \infty lim x_{n} = 3$ . Wtedy

$n \to + \infty lim f (x_{n}) = n \to + \infty lim \frac{x _{n} - 3}{x _{n} + 3} = \frac{3 - 3}{3 + 3} = \frac{0}{6} = 0$

Zauważmy, że:

$f (3) = 0$

Funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_{0} = 3$ , ponieważ $x \to 3 lim f (x) = f (3) .$

$d)$

Funkcja $f$ jest określona w punkcie $x_{0} = 1$ .

Załóżmy, że $(x_{n})$ jest dowolnym ciągiem argumentów funkcji $f$ takim, że $x_{n} \neq = 1$ oraz $n \to + \infty lim x_{n} = 1$ . Wtedy

$n \to + \infty lim f (x_{n}) = n \to + \infty lim \frac{x _{n}^{2} - 5}{x _{n} + 5} = \frac{1 ^{2} - 5}{1 + 5} = \frac{1 - 5}{6} = \frac{- 4}{6} = - \frac{2}{3}$

Zauważmy, że:

$f (1) = - 4$

Funkcja $f$ nie jest ciągła w punkcie $x_{0} = 1$ , ponieważ $x \to 1 lim f (x) \neq = f (1) .$

$e)$

Funkcja $f$ jest określona w punkcie $x_{0} = - 7$ .

Załóżmy, że $(x_{n})$ jest dowolnym ciągiem argumentów funkcji $f$ takim, że $x_{n} \neq = - 7$ oraz $n \to + \infty lim x_{n} = - 7$ . Wtedy

$n \to + \infty lim f (x_{n}) = n \to + \infty lim \frac{x _{n} + 7}{x _{n} + 7} = n \to + \infty lim 1 = 1$

Zauważmy, że:

$f (- 7) = 1$

Funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_{0} = - 7$ , ponieważ $x \to - 7 lim f (x) = f (- 7) .$

$f)$

Funkcja $f$ jest określona w punkcie $x_{0} = - 1$ .

Załóżmy, że $(x_{n})$ jest dowolnym ciągiem argumentów funkcji $f$ takim, że $x_{n} \neq = - 1$ oraz $n \to + \infty lim x_{n} = - 1$ . Wtedy

$n \to + \infty lim f (x_{n}) = n \to + \infty lim - \frac{4}{x _{n} + 2} = - \frac{4}{- 1 + 2} = - \frac{4}{1} = - 4$

Zauważmy, że:

$f (- 1) = 2$

Funkcja $f$ nie jest ciągła w punkcie $x_{0} = - 1$ , ponieważ $x \to - 1 lim f (x) \neq = f (- 1) .$

Magdalena Matusik

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.