a) Wzór funkcji  $f$  zapiszemy w postaci kanonicznej.

$f\left(x\right)=\frac{-3x-13}{x+5}=\frac{-3\left(x+5\right)+3\cdot 5-13}{x+5}=\frac{-3\left(x+5\right)+15-13}{x+5}=\frac{-3\left(x+5\right)+2}{x+5}=\frac{-3\left(x+5\right)}{x+5}+\frac{2}{x+5}=-3+\frac{2}{x+5}=\frac{2}{x+5}-3$  

Hiperbola  $f\left(x\right)=\frac{2}{x+5}-3$  powstała w wyniku przesunięcia wykresu funkcji  $y=\frac{2}{x}$  o 5 jednostek w lewo i 3 jednostki w dół. 

Szkicujemy wykresy funkcji  $f$  oraz  $g.$  

Wyznaczamy pierwszą współrzędną punktu przecięcia wykresów tych funkcji.

$f\left(x\right)=g\left(x\right)$  

$\frac{-3x-13}{x+5}=2\mid \cdot \left(x+5\right)$  

$-3x-13=2\left(x+5\right)$  

$-3x-13=2x+10\mid +3x$  

$-13=5x+10\mid -10$  

 

$-\frac{23}{5}=x$  

$x=-\frac{23}{5}$  

Wobec tego:

$x\in (-5;-\frac{23}{5}⟩$  

---

b) Wzór funkcji  $g$  zapiszemy w postaci kanonicznej.

$g\left(x\right)=\frac{x}{x+3}=\frac{x+3-3}{x+3}=\frac{x+3}{x+3}-\frac{3}{x+3}=1-\frac{3}{x+3}=-\frac{3}{x+3}+1$  

Hiperbola  $g\left(x\right)=-\frac{3}{x+3}+1$  powstała w wyniku przesunięcia wykresu funkcji  $y=-\frac{3}{x}$  o 3 jednostki w lewo i 1 jednostkę w górę.

Szkicujemy wykresy funkcji  $f$  oraz  $g.$  

Wobec tego:

$x\in \left(-3;+\infty \right)$  

---

c) Wzór funkcji  $g$  zapiszemy w postaci kanonicznej.

$g\left(x\right)=\frac{1-x}{x-4}=\frac{-x+1}{x-4}=\frac{-\left(x-4\right)-4+1}{x-4}=\frac{-\left(x-4\right)-3}{x-4}=\frac{-\left(x-4\right)}{x-4}-\frac{3}{x-4}=-1-\frac{3}{x-4}=-\frac{3}{x-4}-1$  

Hiperbola  $g\left(x\right)=-\frac{3}{x-4}-1$  powstała w wyniku przesunięcia wykresu funkcji  $y=\frac{-3}{x}$  o 4 jednostki w prawo i 1 jednostkę w dół.

Szkicujemy wykresy funkcji  $f$  oraz  $g.$  

Wobec tego:

$x\in (-\infty ;-2⟩\cup (0;2⟩\cup \left(4;+\infty \right)$  

---

d) Wzór funkcji  $f$  zapiszemy w postaci kanonicznej.

$f\left(x\right)=\frac{3-x}{x-2}=\frac{-x+3}{x-2}=\frac{-\left(x-2\right)-2+3}{x-2}=\frac{-\left(x-2\right)+1}{x-2}=\frac{-\left(x-2\right)}{x-2}+\frac{1}{x-2}=-1+\frac{1}{x-2}=\frac{2}{x-2}-1$  

Hiperbola  $f\left(x\right)=\frac{2}{x-2}-1$  powstała w wyniku przesunięcia wykresu funkcji  $y=\frac{2}{x}$  o 2 jednostki w prawo i 1 jednostkę w dół.

Wzór funkcji  $g$  zapiszemy w postaci kanonicznej.

$g\left(x\right)=\frac{x+1}{x}=\frac{x}{x}+\frac{1}{x}=1+\frac{1}{x}=\frac{1}{x}+1$  

Hiperbola  $g\left(x\right)=\frac{1}{x}+1$  powstała w wyniku przesunięcia wykresu funkcji  $y=\frac{1}{x}$  o 1 jednostkę w górę.

Szkicujemy wykresy funkcji  $f$  oraz  $g.$  

Wyznaczamy pierwsze współrzędne punktów przecięcia wykresów tych funkcji.

$f\left(x\right)=g\left(x\right)$  

$\frac{3-x}{x-2}=\frac{x+1}{x}$  

$x\left(3-x\right)=\left(x+1\right)\left(x-2\right)$  

$3x-x^2=(x^2-2x+x-2$  

$3x-x^2=x^2-x-2\mid +x^2$  

$3x=2x^2-x-2\mid -3x$  

$0=2x^2-4x-2\mid :2$  

$0=x^2-2x-1$  

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-1\right)=4+4=8$  

$x_1=\frac{-\left(-2\right)-\sqrt{8}}{2\cdot 1}=\frac{2-2\sqrt{2}}{2}=1-\sqrt{2}$  

$x_2=\frac{-\left(-2\right)+\sqrt{8}}{2\cdot 1}=\frac{2+2\sqrt{2}}{2}=1+\sqrt{2}$  

Wobec tego:

$x=1-\sqrt{2}\vee x=1+\sqrt{2}$  

Mamy więc:

$x\in ⟨1-\sqrt{2};0)\cup (2;1+\sqrt{2}⟩$