Rozwiąż nierówność ...- Zadanie 7: Matematyka 3. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

a) Najpierw określimy dziedzinę tej nierówności.

Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$x^{2} - 6 x + 9 \neq = 0 \land x^{2} - 9 \neq = 0$

$(x - 3)^{2} \neq = 0 \land (x - 3) (x + 3) \neq = 0$

$x - 3 \neq = 0 \land x - 3 \neq = 0 \land x + 3 \neq = 0$

$x \neq = 3 \land x \neq = - 3$

Zatem:

$D = R \ {- 3, 3}$

Rozwiązujemy nierówność.

$\frac{x}{x ^{2} - 6 x + 9} + \frac{2}{x ^{2} - 9} > 0$

$\frac{x}{( x - 3 ) ^{2}} + \frac{2}{x - 3} (x + 3) > 0$

$\frac{x ( x + 3 )}{( x - 3 ) ^{2} ( x + 3 )} + \frac{2 ( x - 3 )}{( x - 3 ) ^{2} ( x + 3 )} > 0$

$\frac{x ^{2} + 3 x}{( x - 3 ) ^{2} ( x + 3 )} + \frac{2 x - 6}{( x - 3 ) ^{2} ( x + 3 )} > 0$

$\frac{x ^{2} + 3 x + 2 x - 6}{( x - 3 ) ^{2} ( x + 3 )} > 0$

$\frac{x ^{2} + 5 x - 6}{( x - 3 ) ^{2} ( x + 3 )} > 0$

$\frac{x ^{2} - x + 6 x - 6}{( x - 3 ) ^{2} ( x + 3 )} > 0$

$\frac{x ( x - 1 ) + 6 ( x - 1 )}{( x - 3 ) ^{2} ( x + 3 )} > 0$

$\frac{( x - 1 ) ( x + 6 )}{( x - 3 ) ^{2} ( x + 3 )} > 0$

Nierówność wymierną zastępujemy nierównością wielomianową.

$(x - 1) (x + 6) (x - 3)^{2} (x + 3) > 0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $y = (x - 1) (x + 6) (x - 3)^{2} (x + 3) .$

$(x - 1) (x + 6) (x - 3)^{2} (x + 3) = 0$

Rozwiążemy równanie, korzystając z faktu, że iloczyn kilku liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$x - 1 = 0 \lor x + 6 = 0 \lor x - 3 = 0 \lor x + 3 = 0$

$x = 1 \lor x = - 6 \lor x = 3 \lor x = - 3$

Pierwiastki zapiszemy w kolejności od najmniejszego do największego i określimy ich krotności.

$1-kr x = - 6 \lor 1-kr x = - 3 \lor 1-kr x = 1 \lor 2-kr x = 3$

Rysowanie wykresu zaczynamy od prawej strony.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią, więc zaczynamy nad osią $x .$

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.

$x \in (- 6; - 3) \cup (1; 3) \cup (3; + \infty)$

b) Najpierw określimy dziedzinę tej nierówności.

$x^{2} + 2 x \neq = 0 \land x^{2} - 3 x \neq = 0$

$x (x + 2) \neq = 0 \land x (x - 3) \neq = 0$

$x \neq = 0 \land x + 2 \neq = 0 \land x - 3 \neq = 0$

$x \neq = 0 \land x \neq = - 2 \land x \neq = 3$

Zatem:

$D = R \ {- 2, 0, 3}$

Rozwiązujemy nierówność.

$\frac{x}{x ^{2} + 2 x} \geq \frac{x - 2}{x ^{2} - 3 x} ∣ - \frac{x - 2}{x ^{2} - 3 x}$

$\frac{x}{x ^{2} + 2 x} - \frac{x - 2}{x ^{2} - 3 x} \geq 0$

$\frac{x}{x ( x + 2 )} - \frac{x - 2}{x ( x - 3 )} \geq 0$

$\frac{x ( x - 3 )}{x ( x + 2 ) ( x - 3 )} - \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x ( x - 3 ) ( x + 2 )} \geq 0$

$\frac{x ^{2} - 3 x}{x ( x + 2 ) ( x - 3 )} - \frac{x ^{2} - 4}{x ( x - 3 ) ( x + 2 )} \geq 0$

$\frac{x ^{2} - 3 x - ( x ^{2} - 4 )}{x ( x - 3 ) ( x + 2 )} \geq 0$

$\frac{x ^{2} - 3 x - x ^{2} + 4}{x ( x - 3 ) ( x + 2 )} \geq 0$

$\frac{- 3 x + 4}{x ( x - 3 ) ( x + 2 )} \geq 0$

Nierówność wymierną zastępujemy nierównością wielomianową.

$(- 3 x + 4) x (x - 3) (x + 2) \geq 0$

$x (- 3 x + 4) (x - 3) (x + 2) \geq 0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $y = x^{2} (x - 3) (x + 2) .$

$x (- 3 x + 4) (x - 3) (x + 2) = 0$

Rozwiążemy równanie, korzystając z faktu, że iloczyn kilku liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$x = 0 \lor - 3 x + 4 = 0 \lor x - 3 = 0 \lor x + 2 = 0$

$x = 0 \lor - 3 x = - 4 \lor x = 3 \lor x = - 2$

$x = 0 \lor x = \frac{4}{3} \lor x = 3 \lor x = - 2$

Pierwiastki zapiszemy w kolejności od najmniejszego do największego i określimy ich krotności.

$1-kr x = - 2 \lor 1-kr x = 0 \lor 1-kr x = \frac{4}{3} \lor 1-kr x = 3$

Rysowanie wykresu zaczynamy od prawej strony.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą ujemną, więc zaczynamy pod osią $x .$

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.

$x \in ⟨ - 2; 0 ⟩ \cup ⟨ \frac{4}{3}; 3 ⟩$

Do zbioru rozwiązań nierówności wymiernej należą te rozwiązania nierówności wielomianowej, które spełniają założenia.

$x \in (- 2; 0) \cup ⟨ \frac{4}{3}; 3)$

c) Najpierw określimy dziedzinę tej nierówności.

$x^{2} - 4 x \neq = 0 \land x^{2} - 3 x \neq = 0$

$x (x - 4) \neq = 0 \land x (x - 3) \neq = 0$

$x \neq = 0 \land x - 4 \neq = 0 \land x - 3 \neq = 0$

$x \neq = 0 \land x \neq = 4 \land x \neq = 3$

Zatem:

$D = R \ {0, 3, 4}$

Rozwiązujemy nierówność.

$\frac{2 x}{x ^{2} - 4 x} < \frac{5 x}{x ^{2} - 3 x} ∣ - \frac{5 x}{x ^{2} - 3 x}$

$\frac{2 x}{x ^{2} - 4 x} - \frac{5 x}{x ^{2} - 3 x} < 0$

$\frac{2 x}{x ( x - 4 )} - \frac{5 x}{x ( x - 3 )} < 0$

$\frac{2 x ( x - 3 )}{x ( x - 4 ) ( x - 3 )} - \frac{5 x ( x - 4 )}{x ( x - 3 ) ( x - 4 )} < 0$

$\frac{2 x ^{2} - 6 x}{x ( x - 4 ) ( x - 3 )} - \frac{5 x ^{2} - 20 x}{x ( x - 3 ) ( x - 4 )} < 0$

$\frac{2 x ^{2} - 6 x - ( 5 x ^{2} - 20 x )}{x ( x - 3 ) ( x - 4 )} < 0$

$\frac{2 x ^{2} - 6 x - 5 x ^{2} + 20 x}{x ( x - 3 ) ( x - 4 )} < 0$

$\frac{- 3 x ^{2} + 14 x}{x ( x - 3 ) ( x - 4 )} < 0$

$\frac{x ( - 3 x + 14 )}{x ( x - 3 ) ( x - 4 )} < 0$

Nierówność wymierną zastępujemy nierównością wielomianową.

$x (- 3 x + 14) \cdot x (x - 3) (x - 4) < 0$

$x^{2} (- 3 x + 14) (x - 3) (x - 4) < 0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $y = x^{2} (- 3 x + 14) (x - 3) (x - 4) .$

$x^{2} (- 3 x + 14) (x - 3) (x - 4) = 0$

Rozwiążemy równanie, korzystając z faktu, że iloczyn kilku liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$x^{2} = 0 \lor - 3 x + 14 = 0 \lor x - 3 = 0 \lor x - 4 = 0$

$x = 0 \lor - 3 x = - 14 \lor x = 3 \lor x = 4$

$x = 0 \lor x = \frac{14}{3} \lor x = 3 \lor x = 4$

Pierwiastki zapiszemy w kolejności od najmniejszego do największego i określimy ich krotności.

$2-kr x = 0 \lor 1-kr x = 3 \lor 1-kr x = 4 \lor 1-kr x = \frac{14}{3}$

Rysowanie wykresu zaczynamy od prawej strony.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą ujemną, więc zaczynamy pod osią $x .$

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.

$x \in (3; 4) \cup (\frac{14}{3}; + \infty)$

d) Najpierw określimy dziedzinę tej nierówności.

$x^{2} + 10 x + 25 \neq = 0 \land x^{2} + 5 x \neq = 0$

$(x + 5)^{2} \neq = 0 \land x (x + 5) \neq = 0$

$x + 5 \neq = 0 \land x \neq = 0 \land x + 5 \neq = 0$

$x \neq = - 5 \land x \neq = 0 \land x \neq = - 5$

$x \neq = - 5 \land x \neq = 0$

Zatem:

$D = R \ {- 5, 0}$

Rozwiązujemy nierówność.

$\frac{1 - x}{x ^{2} + 10 x + 25} - \frac{2}{x ^{2} + 5 x} \leq 0$

$\frac{1 - x}{( x + 5 ) ^{2}} - \frac{2}{x ( x + 5 )} \leq 0$

$\frac{( 1 - x ) \cdot x}{x ( x + 5 ) ^{2}} - \frac{2 ( x + 5 )}{x ( x + 5 ) ^{2}} \leq 0$

$\frac{x - x ^{2}}{x ( x + 5 ) ^{2}} - \frac{2 x + 10}{x ( x + 5 ) ^{2}} \leq 0$

$\frac{x - x ^{2} - ( 2 x + 10 )}{x ( x + 5 ) ^{2}} \leq 0$

$\frac{x - x ^{2} - 2 x - 10}{x ( x + 5 ) ^{2}} \leq 0$

$\frac{- x ^{2} - x - 10}{x ( x + 5 ) ^{2}} \leq 0$

Nierówność wymierną zastępujemy nierównością wielomianową.

$(- x^{2} - x - 10) \cdot x (x + 5)^{2} \leq 0$

$x (- x^{2} - x - 10) (x + 5)^{2} \leq 0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $y = x (- x^{2} - x - 10) (x + 5)^{2} .$

$x (- x^{2} - x - 10) (x + 5)^{2} = 0$

Rozwiążemy równanie, korzystając z faktu, że iloczyn kilku liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$x = 0 \lor - x^{2} - x - 10 = 0 \lor (x + 5)^{2} = 0$

$x = 0 \lor - x^{2} - x - 10 = 0 \lor x + 5 = 0$

$x = 0 \lor - x^{2} - x - 10 = 0 \lor x = - 5$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$Δ = (- 1)^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 10) = 1 - 40 = - 39$

Ponieważ $Δ < 0,$ to równanie $- x^{2} - x - 10 = 0$ nie ma rozwiązań.

Pierwiastki zapiszemy w kolejności od najmniejszego do największego i określimy ich krotności.

$2-kr x = - 5 \lor 1-kr x = 0$

Rysowanie wykresu zaczynamy od prawej strony.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą ujemną, więc zaczynamy pod osią $x .$

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.

$x \in {- 5} \cup ⟨ 0; + \infty)$

Do zbioru rozwiązań nierówności wymiernej należą te rozwiązania nierówności wielomianowej, które spełniają założenia.

$x \in (0; + \infty)$

e) Najpierw określimy dziedzinę tej nierówności.

$x^{2} - 16 \neq = 0 \land x^{2} - 4 x \neq = 0$

$(x - 4) (x + 4) \neq = 0 \land x (x - 4) \neq = 0$

$x - 4 \neq = 0 \land x + 4 \neq = 0 \land x \neq = 0$

$x \neq = 4 \land x \neq = - 4 \land x \neq = 0$

Zatem:

$D = R \ {- 4, 0, 4}$

Rozwiązujemy nierówność.

$\frac{x + 3}{x ^{2} - 16} > \frac{2 x}{x ^{2} - 4 x} ∣ - \frac{2 x}{x ^{2} - 4 x}$

$\frac{x + 3}{x ^{2} - 16} - \frac{2 x}{x ^{2} - 4 x} > 0$

$\frac{x + 3}{( x - 4 ) ( x + 4 )} - \frac{2 x}{x ( x - 4 )} > 0$

$\frac{( x + 3 ) \cdot x}{x ( x - 4 ) ( x + 4 )} - \frac{2 x ( x + 4 )}{x ( x - 4 ) ( x + 4 )} > 0$

$\frac{x ^{2} + 3 x}{x ( x - 4 ) ( x + 4 )} - \frac{2 x ^{2} + 8 x}{x ( x - 4 ) ( x + 4 )} > 0$

$\frac{x ^{2} + 3 x - ( 2 x ^{2} + 8 x )}{x ( x - 4 ) ( x + 4 )} > 0$

$\frac{x ^{2} + 3 x - 2 x ^{2} - 8 x}{x ( x - 4 ) ( x + 4 )} > 0$

$\frac{- x ^{2} - 5 x}{x ( x - 4 ) ( x + 4 )} > 0$

$\frac{- x ( x + 5 )}{x ( x - 4 ) ( x + 4 )} > 0$

$\frac{- ( x + 5 )}{( x - 4 ) ( x + 4 )} > 0$

Nierówność wymierną zastępujemy nierównością wielomianową.

$- (x + 5) (x - 4) (x + 4) > 0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $y = - (x + 5) (x - 4) (x + 4) .$

$- (x + 5) (x - 4) (x + 4) = 0$

Rozwiążemy równanie, korzystając z faktu, że iloczyn kilku liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$x + 5 = 0 \lor x - 4 = 0 \lor x + 4 = 0$

$x = - 5 \lor x = 4 \lor x = - 4$

Pierwiastki zapiszemy w kolejności od najmniejszego do największego i określimy ich krotności.

$1-kr x = - 5 \lor 1-kr x = - 4 \lor 1-kr x = 4$

Rysowanie wykresu zaczynamy od prawej strony.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą ujemną, więc zaczynamy pod osią $x .$

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.

$x \in (- \infty; - 5) \cup (4; + \infty)$

Do zbioru rozwiązań nierówności wymiernej należą te rozwiązania nierówności wielomianowej, które spełniają założenia.

$x \in (- \infty; - 5) \cup (4; 0) \cup (0; + \infty)$

f) Najpierw określimy dziedzinę tej nierówności.

$x^{2} - x - 2 \neq = 0 \land 4 - x^{2} \neq = 0$

$x^{2} + x - 2 x - 2 \neq = 0 \land (2 - x) (2 + x) \neq = 0$

$x (x + 1) - 2 (x + 1) \neq = 0 \land 2 - x \neq = 0 \land 2 + x \neq = 0$

$(x + 1) (x - 2) \neq = 0 \land - x \neq = - 2 \land x \neq = - 2$

$x + 1 \neq = 0 \land x \neq = 2 \land x \neq = - 2$

$x \neq = - 1 \land x \neq = 2 \land x \neq = - 2$

Zatem:

$D = R \ {- 2, - 1, 2}$

Rozwiązujemy nierówność.

$\frac{2}{x ^{2} - x - 2} + \frac{3}{4 - x ^{2}} \leq 0$

$\frac{2}{( x + 1 ) ( x - 2 )} + \frac{3}{( 2 - x ) ( 2 + x )} \leq 0$

$\frac{2}{( x + 1 ) ( x - 2 )} + \frac{3}{- ( x - 2 ) ( x + 2 )} \leq 0$

$\frac{2}{( x + 1 ) ( x - 2 )} - \frac{3}{( x - 2 ) ( x + 2 )} \leq 0$

$\frac{2 ( x + 2 )}{( x + 1 ) ( x - 2 ) ( x + 2 )} - \frac{3 ( x + 1 )}{( x - 2 ) ( x + 2 ) ( x + 1 )} \leq 0$

$\frac{2 x + 4}{( x + 1 ) ( x - 2 ) ( x + 2 )} - \frac{3 x + 3}{( x - 2 ) ( x + 2 ) ( x + 1 )} \leq 0$

$\frac{2 x + 4 - ( 3 x + 3 )}{( x - 2 ) ( x + 2 ) ( x + 1 )} \leq 0$

$\frac{2 x + 4 - 3 x - 3}{( x - 2 ) ( x + 2 ) ( x + 1 )} \leq 0$

$\frac{- x + 1}{( x - 2 ) ( x + 2 ) ( x + 1 )} \leq 0$

Nierówność wymierną zastępujemy nierównością wielomianową.

$(- x + 1) (x - 2) (x + 2) (x + 1) \leq 0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $y = (- x + 1) (x - 2) (x + 2) (x + 1) .$

$(- x + 1) (x - 2) (x + 2) (x + 1) = 0$

Rozwiążemy równanie, korzystając z faktu, że iloczyn kilku liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$- x + 1 = 0 \lor x - 2 = 0 \lor x + 2 = 0 \lor x + 1 = 0$

$- x = - 1 \lor x = 2 \lor x = - 2 \lor x = - 1$

$x = 1 \lor x = 2 \lor x = - 2 \lor x = - 1$

Pierwiastki zapiszemy w kolejności od najmniejszego do największego i określimy ich krotności.

$1-kr x = - 2 \lor 1-kr x = - 1 \lor 1-kr x = 1 \lor 1-kr x = 2$

Rysowanie wykresu zaczynamy od prawej strony.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą ujemną, więc zaczynamy pod osią $x .$

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.

$x \in (- \infty; - 2 ⟩ \cup ⟨ - 1; 1 ⟩ \cup ⟨ 2; + \infty)$

Do zbioru rozwiązań nierówności wymiernej należą te rozwiązania nierówności wielomianowej, które spełniają założenia.

$x \in (- \infty; - 2) \cup (- 1; 1 ⟩ \cup (2; + \infty)$

g) Najpierw określimy dziedzinę tej nierówności.

$x^{2} - 4 x + 3 \neq = 0 \land - x^{2} + 5 x - 4 \neq = 0$

$x^{2} - x - 3 x + 3 \neq = 0 \land x^{2} - 5 x + 4 \neq = 0$

$x (x - 1) - 3 (x - 1) \neq = 0 \land x^{2} - x - 4 x + 4 \neq = 0$

$(x - 1) (x - 3) \neq = 0 \land x (x - 1) - 4 (x - 1) \neq = 0$

$x - 1 \neq = 0 \land x - 3 \neq = 0 \land (x - 1) (x - 4) \neq = 0$

$x \neq = 1 \land x \neq = 3 \land x - 4 \neq = 0$

$x \neq = 1 \land x \neq = 3 \land x \neq = 4$

Zatem:

$D = R \ {1, 3, 4}$

Rozwiązujemy nierówność.

$\frac{3}{x ^{2} - 4 x + 3} - \frac{x}{- x ^{2} + 5 x - 4} \geq 0$

$\frac{3}{( x - 1 ) ( x - 3 )} - \frac{x}{- ( x - 1 ) ( x - 4 )} \geq 0$

$\frac{3}{( x - 1 ) ( x - 3 )} + \frac{x}{( x - 1 ) ( x - 4 )} \geq 0$

$\frac{3 ( x - 4 )}{( x - 1 ) ( x - 3 ) ( x - 4 )} + \frac{x ( x - 3 )}{( x - 1 ) ( x - 4 ) ( x - 3 )} \geq 0$

$\frac{3 x - 12}{( x - 1 ) ( x - 3 ) ( x - 4 )} + \frac{x ^{2} - 3 x}{( x - 1 ) ( x - 4 ) ( x - 3 )} \geq 0$

$\frac{3 x - 12 + x ^{2} - 3 x}{( x - 1 ) ( x - 4 ) ( x - 3 )} \geq 0$

$\frac{x ^{2} - 12}{( x - 1 ) ( x - 4 ) ( x - 3 )} \geq 0$

Nierówność wymierną zastępujemy nierównością wielomianową.

$(x^{2} - 12) (x - 1) (x - 4) (x - 3) \geq 0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $y = (x^{2} - 12) (x - 1) (x - 4) (x - 3) .$

$(x^{2} - 12) (x - 1) (x - 4) (x - 3) = 0$

Rozwiążemy równanie, korzystając z faktu, że iloczyn kilku liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$x^{2} - 12 = 0 \lor x - 1 = 0 \lor x - 4 = 0 \lor x - 3 = 0$

$(x - 23) (x + 23) = 0 \lor x = 1 \lor x = 4 \lor x = 3$

$x - 23 = 0 \lor x + 23 = 0 \lor x = 1 \lor x = 4 \lor x = 3$

$x = 23 \lor x = - 23 \lor x = 1 \lor x = 4 \lor x = 3$

Pierwiastki zapiszemy w kolejności od najmniejszego do największego i określimy ich krotności.

$1-kr x = - 23 \lor 1-kr x = 1 \lor 1-kr x = 3 \lor 1-kr x = 4 \lor 1-kr x = 23$

Rysowanie wykresu zaczynamy od prawej strony.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią, więc zaczynamy nad osią $x .$

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.

$x \in ⟨ - 23; 1 ⟩ \cup ⟨ 3; 23 ⟩ \cup ⟨ 4; + \infty)$

Do zbioru rozwiązań nierówności wymiernej należą te rozwiązania nierówności wielomianowej, które spełniają założenia.

$x \in ⟨ - 23; 1) \cup (3; 23 ⟩ \cup (4; + \infty)$

h) Najpierw określimy dziedzinę tej nierówności.

$x^{2} - 3 x - 10 \neq = 0 \land x^{2} + 5 x + 6 \neq = 0$

$x^{2} + 2 x - 5 x - 10 \neq = 0 \land x^{2} + 2 x + 3 x + 6 \neq = 0$

$x (x + 2) - 5 (x + 2) \neq = 0 \land x (x + 2) + 3 (x + 2) \neq = 0$

$(x + 2) (x - 5) \neq = 0 \land (x + 2) (x + 3) \neq = 0$

$x + 2 \neq = 0 \land x - 5 \neq = 0 \land x + 3 \neq = 0$

$x \neq = - 2 \land x \neq = 5 \land x \neq = - 3$

Zatem:

$D = R \ {- 3, - 2, 5}$

Rozwiązujemy nierówność.

`(x-3)/(x^2-3x-10)

$\frac{x - 3}{x ^{2} - 3 x - 10} - \frac{2 x}{x ^{2} + 5 x + 6} < 0$

$\frac{x - 3}{( x + 2 ) ( x - 5 )} - \frac{2 x}{( x + 2 ) ( x + 3 )} < 0$

$\frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{( x + 2 ) ( x - 5 ) ( x + 3 )} - \frac{2 x ( x - 5 )}{( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x - 5 )} < 0$

$\frac{x ^{2} - 9}{( x + 2 ) ( x - 5 ) ( x + 3 )} - \frac{2 x ^{2} - 10 x}{( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x - 5 )} < 0$

$\frac{x ^{2} - 9 - ( 2 x ^{2} - 10 x )}{( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x - 5 )} < 0$

$\frac{x ^{2} - 9 - 2 x ^{2} + 10 x}{( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x - 5 )} < 0$

$\frac{- x ^{2} + 10 x - 9}{( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x - 5 )} < 0$

Nierówność wymierną zastępujemy nierównością wielomianową.

$(- x^{2} + 10 x - 9) (x + 2) (x + 3) (x - 5) < 0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $y = (- x^{2} + 10 x - 9) (x + 2) (x + 3) (x - 5) .$

$(- x^{2} + 10 x - 9) (x + 2) (x + 3) (x - 5) = 0$

Rozwiążemy równanie, korzystając z faktu, że iloczyn kilku liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$- x^{2} + 10 x - 9 = 0 \lor x + 2 = 0 \lor x + 3 = 0 \lor x - 5 = 0$

$x^{2} - 10 x + 9 = 0 \lor x = - 2 \lor x = - 3 \lor x = 5$

$x^{2} - x - 9 x + 9 = 0 \lor x = - 2 \lor x = - 3 \lor x = 5$

$x (x - 1) - 9 (x - 1) = 0 \lor x = - 2 \lor x = - 3 \lor x = 5$

$(x - 1) (x - 9) = 0 \lor x = - 2 \lor x = - 3 \lor x = 5$

$x - 1 = 0 \lor x - 9 = 0 \lor x = - 2 \lor x = - 3 \lor x = 5$

$x = 1 \lor x = 9 \lor x = - 2 \lor x = - 3 \lor x = 5$

Pierwiastki zapiszemy w kolejności od najmniejszego do największego i określimy ich krotności.

$1-kr x = - 3 \lor 1-kr x = - 2 \lor 1-kr x = 1 \lor 1-kr x = 5 \lor 1-kr x = 9$

Rysowanie wykresu zaczynamy od prawej strony.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą ujemną, więc zaczynamy pod osią $x .$

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.

$x \in (- 3; - 2) \cup (1; 5) \cup (9; + \infty)$

Agnieszka Sermak

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.