a) Asymptotą poziomą wykresu funkcji  $f$  jest prosta o równaniu  $y=0.$  

Zatem wykres tej funkcji nie przecina osi  $x.$  

Wyznaczamy drugą współrzędną punktu przecięcia wykresu tej funkcji z osią  $y.$  

$y=f\left(0\right)=\frac{\frac{1}{2}}{0+6}=\frac{\frac{1}{2}}{6}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{12}$  

Wykres funkcji  $f$  przecina oś  $y$  w punkcie o współrzędnych  $\left(0,\frac{1}{12}\right).$  

Wykres funkcji $f$  powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji $y=\frac{\frac{1}{2}}{x}$  o 6 jednostek w lewo. Szkicujemy wykres funkcji  $f.$  

Funkcja  $f$  jest malejąca w przedziałach  $\left(-\infty ;-6\right)$  oraz  $\left(-6;+\infty \right).$  

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla  $x\in \left(-6;+\infty \right).$  

---

b) Wyznaczamy pierwszą współrzędną punktu przecięcia wykresu tej funkcji z osią  $x.$  

$f\left(x\right)=0$  

$\frac{-3}{x}+1=0\mid -1$  

$\frac{-3}{x}=-1\mid \cdot x$  

$-3=-x\mid \cdot \left(-1\right)$  

$3=x$  

Wykres funkcji  $f$  przecina oś  $x$  w punkcie o współrzędnych  $\left(3,0\right).$  

Asymptotą pionową wykresu funkcji  $f$  jest prosta o równaniu  $x=0.$  

Zatem wykres tej funkcji nie przecina osi  $y.$  

Wykres funkcji $f$  powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji $y=\frac{-3}{x}$  o 1 jednostkę w górę. Szkicujemy wykres funkcji  $f.$  

Funkcja  $f$  jest rosnąca w przedziałach  $\left(-\infty ;0\right)$  oraz  $\left(0;+\infty \right).$  

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla  $x\in \left(-\infty ;0\right)\cup \left(3;+\infty \right).$  

---

c) Wyznaczamy pierwszą współrzędną punktu przecięcia wykresu tej funkcji z osią  $x.$  

$f\left(x\right)=0$  

$\frac{3}{x+2}-3=0\mid +3$  

$\frac{3}{x+2}=3\mid \cdot \left(x+2\right)$  

$3=3\left(x+2\right)$  

$3=3x+6\mid -6$  

$-3=3x\mid :3$  

$-1=x$  

Wykres funkcji  $f$  przecina oś  $x$  w punkcie o współrzędnych  $\left(-1,0\right).$  

Wyznaczamy drugą współrzędną punktu przecięcia wykresu tej funkcji z osią  $y.$  

$y=f\left(0\right)=\frac{3}{0+2}-3=\frac{3}{2}-3=-\frac{3}{2}$  

Wykres funkcji  $f$  przecina oś  $y$  w punkcie o współrzędnych  $\left(0,-\frac{3}{2}\right).$  

Wykres funkcji $f$  powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji $y=\frac{3}{x}$  o 2 jednostki w lewo i 3 jednostki w dół. Szkicujemy wykres funkcji  $f.$  

Funkcja  $f$  jest malejąca w przedziałach  $\left(-\infty ;-2\right)$  oraz  $\left(-2;+\infty \right).$  

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla  $x\in \left(-2;-1\right).$  

---

d) Wyznaczamy pierwszą współrzędną punktu przecięcia wykresu tej funkcji z osią  $x.$  

$f\left(x\right)=0$  

$\frac{1}{5\left(x-1\right)}+0,2=0\mid -0,2$  

$\frac{1}{5\left(x-1\right)}=-0,2\mid \cdot 5\left(x-1\right)$  

$1=-\left(x-1\right)$  

$1=-x+1\mid -1$  

$0=-x\mid \cdot \left(-1\right)$  

$0=x$  

Wykres funkcji  $f$  przecina osie układu współrzędnych w punkcie $\left(0,0\right).$  

Wykres funkcji $f$  powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji $y=\frac{\frac{1}{5}}{x}$  o 1 jednostkę w prawo i 0,2 jednostki w górę. Szkicujemy wykres funkcji  $f.$  

Funkcja  $f$  jest malejąca w przedziałach  $\left(-\infty ;1\right)$  oraz  $\left(1;+\infty \right).$  

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla  $x\in \left(-\infty ;0\right)\cup \left(1;+\infty \right).$  

---

e) Wyznaczamy pierwszą współrzędną punktu przecięcia wykresu tej funkcji z osią  $x.$  

$f\left(x\right)=0$  

$-\frac{1}{x-4}+2=0\mid -2$  

$-\frac{1}{x-4}=-2\mid \cdot \left(x-4\right)$  

$-1=-2\left(x-4\right)$  

$-1=-2x+8\mid +1$  

$0=-2x+9\mid +2x$  

$2x=9\mid :2$  

$x=\frac{9}{2}$  

Wykres funkcji  $f$  przecina oś  $x$  w punkcie o współrzędnych  $\left(\frac{9}{2},0\right).$  

Wyznaczamy drugą współrzędną punktu przecięcia wykresu tej funkcji z osią  $y.$  

$y=f\left(0\right)=-\frac{1}{0-4}+2=-\frac{1}{-4}+2=\frac{1}{4}+2=2\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$  

Wykres funkcji  $f$  przecina oś  $y$  w punkcie o współrzędnych  $\left(0,\frac{9}{4}\right).$  

Wykres funkcji $f$  powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji $y=-\frac{1}{x}$  o 4 jednostki w prawo i 2 jednostki w górę. Szkicujemy wykres funkcji  $f.$  

Funkcja  $f$  jest rosnąca w przedziałach  $\left(-\infty ;4\right)$  oraz  $\left(4;+\infty \right).$  

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla  $x\in \left(-\infty ;4\right)\cup \left(\frac{9}{2};+\infty \right).$  

---

f) Wyznaczamy pierwszą współrzędną punktu przecięcia wykresu tej funkcji z osią  $x.$  

$f\left(x\right)=0$  

$\frac{2}{3-x}-\frac{1}{3}=0\mid +\frac{1}{3}$  

$\frac{2}{3-x}=\frac{1}{3}\mid \cdot \left(3-x\right)$  

$2=\frac{3-x}{3}\mid \cdot 3$  

$6=3-x\mid -3$  

$3=-x\mid \cdot \left(-1\right)$  

$-3=x$  

Wykres funkcji  $f$  przecina oś  $x$  w punkcie o współrzędnych  $\left(-3,0\right).$  

Wyznaczamy drugą współrzędną punktu przecięcia wykresu tej funkcji z osią  $y.$  

$y=f\left(0\right)=\frac{2}{3-0}-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$  

Wykres funkcji  $f$  przecina oś  $y$  w punkcie o współrzędnych  $\left(0,\frac{1}{3}\right).$  

Wzór funkcji  $f$  zapiszemy w postaci równoważnej.

$f\left(x\right)=\frac{2}{3-x}-\frac{1}{3}=\frac{2}{-\left(x-3\right)}-\frac{1}{3}=-\frac{2}{x-3}-\frac{1}{3}$  

Wykres funkcji $f$  powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji $y=-\frac{2}{x}$  o 3 jednostki w prawo i 1/3 jednostki w dół. Szkicujemy wykres funkcji  $f.$  

Funkcja  $f$  jest rosnąca w przedziałach  $\left(-\infty ;3\right)$  oraz  $\left(3;+\infty \right).$  

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla  $x\in \left(-3;3\right).$