Rozwiąż równanie. ...- Zadanie 10: Matematyka 3. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Rozwiązanie

a) Przekształcamy dane równanie. Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.

$3 x (x + 2) + 2 (x + 2) = 0$

$(x + 2) (3 x + 2) = 0$

Rozwiążemy dane równanie, korzystając z faktu, że iloczyn kilku liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$x + 2 = 0 \lor 3 x + 2 = 0$

$x = - 2 \lor 3 x = - 2$

$x = - 2 \lor x = - \frac{2}{3}$

Zatem:

$x \in {- 2, - \frac{2}{3}}$

b) Przekształcamy dane równanie. Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.

$x^{2} (x - 3) - 4 (x - 3) = 0$

$(x - 3) (x^{2} - 4) = 0$

Rozwiążemy dane równanie, korzystając z faktu, że iloczyn kilku liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0 oraz ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

$x - 3 = 0 \lor x^{2} - 4 = 0$

$x = 3 \lor x + 2 = 0 \lor x - 2 = 0$

$x = 3 \lor x = - 2 \lor x = 2$

Zatem:

$x \in {- 2, 2, 3}$

c) Przekształcamy dane równanie. Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.

$9 (2 x - 1) - x^{2} (2 x - 1) = 0$

$(2 x - 1) (9 - x^{2}) = 0$

$2 x - 1 = 0 \lor 9 - x^{2} = 0$

$x = \frac{1}{2} \lor 3 + x = 0 \lor 3 - x = 0$

$x = \frac{1}{2} \lor x = - 3 \lor - x = - 3$

$x = \frac{1}{2} \lor x = - 3 \lor x = 3$

Zatem:

$x \in {- 3, \frac{1}{2}, 3}$

d) Przekształcamy dane równanie. Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.

$8 (5 - x) + x^{3} (5 - x) = 0$

$(5 - x) (8 + x^{3}) = 0$

Rozwiążemy dane równanie, korzystając z faktu, że iloczyn kilku liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$5 - x = 0 \lor 8 + x^{3} = 0$

$- x = - 5 \lor x^{3} = - 8$

$x = 5 \lor x^{3} = (- 2)^{3}$

Korzystamy z różnowartościowości funkcji $y = x^{3} .$

$x = 5 \lor x = - 2$

Zatem:

$x \in {- 2, 5}$

e) Przekształcamy dane równanie. Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.

$(x + 3) (x - 7) + (x + 5) (x - 7) = 0$

$(x - 7) (x + 3 + x + 5) = 0$

$(x - 7) (2 x + 8) = 0$

Rozwiążemy dane równanie, korzystając z faktu, że iloczyn kilku liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$x - 7 = 0 \lor 2 x + 8 = 0$

$x = 7 \lor 2 x = - 8$

$x = 7 \lor x = - 4$

Zatem:

$x \in {- 4, 7}$

f) Przekształcamy dane równanie. Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.

$(2 x + 3) (3 x - 1) + (3 x - 1) (x - 6) = 0$

$(3 x - 1) (2 x + 3 + x - 6) = 0$

$(3 x - 1) (3 x - 3) = 0$

Rozwiążemy dane równanie, korzystając z faktu, że iloczyn kilku liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$3 x - 1 = 0 \lor 3 x - 3 = 0$

$3 x = 1 \lor 3 x = 3$

$x = \frac{1}{3} \lor x = 1$

Zatem:

$x \in {\frac{1}{3}, 1}$

g) Przekształcamy dane równanie. Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.

$(3 x - 2) (4 x + 3) - (4 x + 3) (x - 3) = 0$

$(4 x + 3) (3 x - 2 - (x - 3)) = 0$

$(4 x + 3) (3 x - 2 - x + 3) = 0$

$(4 x + 3) (2 x + 1) = 0$

Rozwiążemy dane równanie, korzystając z faktu, że iloczyn kilku liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$4 x + 3 = 0 \lor 2 x + 1 = 0$

$4 x = - 3 \lor 2 x = - 1$

$x = - \frac{3}{4} \lor x = - \frac{1}{2}$

Zatem:

$x \in {- \frac{3}{4}, - \frac{1}{2}}$

h) Przekształcamy dane równanie. Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.

$(x - 5) (2 x + 7) - (x - 5) (1 - x) = 0$

$(x - 5) (2 x + 7 - (1 - x)) = 0$

$(x - 5) (2 x + 7 - 1 + x) = 0$

$(x - 5) (3 x + 6) = 0$

Rozwiążemy dane równanie, korzystając z faktu, że iloczyn kilku liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$x - 5 = 0 \lor 3 x + 6 = 0$

$x = 5 \lor 3 x = - 6$

$x = 5 \lor x = - 2$

Zatem:

$x \in {- 2, 5}$

i) Przekształcamy dane równanie. Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.

$(x + 4) (x - 2) + (2 - x) (x - 6) = 0$

$(x + 4) (x - 2) - (x - 2) (x - 6) = 0$

$(x - 2) (x + 4 - (x - 6)) = 0$

$(x - 2) (x + 4 - x + 6) = 0$

$(x - 2) \cdot 10 = 0$

$x - 2 = 0$

$x = 2$

j) Przekształcamy dane równanie. Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.

$(2 x - 1) (3 - x) - (1 - 2 x) (3 - 2 x) = 0$

$(2 x - 1) (3 - x) + (2 x - 1) (3 - 2 x) = 0$

$(2 x - 1) (3 - x + 3 - 2 x) = 0$

$(2 x - 1) (- 3 x + 6) = 0$

Rozwiążemy dane równanie, korzystając z faktu, że iloczyn kilku liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$2 x - 1 = 0 \lor - 3 x + 6 = 0$

$2 x = 1 \lor - 3 x = - 6$

$x = \frac{1}{2} \lor - x = - 2$

$x = \frac{1}{2} \lor x = 2$

Zatem:

$x \in {\frac{1}{2}, 2}$

k) Przekształcamy dane równanie. Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.

$3 (x - 1) (x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) = 0$

$(x - 1) [3 (x + 2) - 2 (x + 3)] = 0$

$(x - 1) (3 x + 6 - 2 x - 6) = 0$

$(x - 1) \cdot x = 0$

Rozwiążemy dane równanie, korzystając z faktu, że iloczyn kilku liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$x - 1 = 0 \lor x = 0$

$x = 1 \lor x = 0$

Zatem:

$x \in {0, 1}$

l) Przekształcamy dane równanie. Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.

$(1 - 2 x)^{2} - (1 - 2 x) (x + 3) = 0$

$(1 - 2 x) (1 - 2 x) - (1 - 2 x) (x + 3) = 0$

$(1 - 2 x) (1 - 2 x - (x + 3)) = 0$

$(1 - 2 x) (1 - 2 x - x - 3) = 0$

$(1 - 2 x) (- 3 x - 2) = 0$

Rozwiążemy dane równanie, korzystając z faktu, że iloczyn kilku liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$1 - 2 x = 0 \lor - 3 x - 2 = 0$

$- 2 x = - 1 \lor - 3 x = 2$

$- x = - \frac{1}{2} \lor - x = \frac{2}{3}$

$x = \frac{1}{2} \lor x = - \frac{2}{3}$

Zatem:

$x \in {- \frac{2}{3}, \frac{1}{2}}$

m) Przekształcamy dane równanie. Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.

$(x - 3) (2 x + 2) = (x - 3) (x^{2} - 6)$

$(x - 3) (2 x + 2) - (x - 3) (x^{2} - 6) = 0$

$(x - 3) (2 x + 2 - (x^{2} - 6)) = 0$

$(x - 3) (2 x + 2 - x^{2} + 6) = 0$

$(x - 3) (- x^{2} + 2 x + 8) = 0$

Rozwiążemy dane równanie, korzystając z faktu, że iloczyn kilku liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$x - 3 = 0 \lor - x^{2} + 2 x + 8 = 0$

$x = 3 \lor - x^{2} + 2 x + 8 = 0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$Δ = 2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 8 = 4 + 32 = 36$

Ponieważ $Δ > 0,$ to równanie $- x^{2} + 2 x + 8 = 0$ ma dwa rozwiązania.

$x_{1} = \frac{- 2 - 36}{2 \cdot ( - 1 )} = \frac{- 2 - 6}{- 2} = \frac{- 8}{- 2} = 4$

$x_{2} = \frac{- 2 + 36}{2 \cdot ( - 1 )} = \frac{- 2 + 6}{- 2} = \frac{4}{- 2} = - 2$

Zatem:

$x \in {- 2, 3, 4}$

n) Przekształcamy dane równanie. Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.

$(2 x - 3) (x + 2) = x^{2} + 2 x$

$(2 x - 3) (x + 2) - (x^{2} + 2 x) = 0$

$(2 x - 3) (x + 2) - x (x + 2) = 0$

$(x + 2) (2 x - 3 - x) = 0$

$(x + 2) (x - 3) = 0$

Rozwiążemy dane równanie, korzystając z faktu, że iloczyn kilku liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$x + 2 = 0 \lor x - 3 = 0$

$x = - 2 \lor x = 3$

Zatem:

$x \in {- 2, 3}$

Agnieszka Sermak

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.