a) Podstawiamy współrzędne punktów B i C do równania w ramce, by wyznaczyć równanie prostej BC, a następnie przekształcamy równanie prostej do postaci kierunkowej:

$\left(y-y_B\right)\left(x_C-x_B\right)-\left(y_C-y_B\right)\left(x-x_B\right)=0$  

$\left(y-3\right)\left(-2-2\right)-\left(6-3\right)\left(x-2\right)=0$  

$\left(y-3\right)\cdot \left(-4\right)-3\left(x-2\right)=0$  

$-4y+12-3x+6=0$  

$-4y-3x+18=0$  

$-4y=3x-18\mid :\left(-4\right)$  

$y=-\frac{3}{4}x+\frac{9}{2}$  

Zatem:

$\text{BC:}y=-\frac{3}{4}x+\frac{9}{2}$  

Sprawdzamy, dla jakiej wartości m punkt A należy do prostej BC:

$m=-\frac{3}{4}\cdot \left(-4\right)+\frac{9}{2}$  

$m=3+4,5$  

$m=7,5$  

Zatem punkty A, B, C są współliniowe, gdy:

$m=7,5$  

b) Podstawiamy współrzędne punktów A i C do równania w ramce, by wyznaczyć równanie prostej AC, a następnie przekształcamy równanie prostej do postaci kierunkowej:

$\left(y-y_A\right)\left(x_C-x_A\right)-\left(y_C-y_A\right)\left(x-x_A\right)=0$  

$\left(y-4\right)\left(-1-\left(-2\right)\right)-\left(-2-4\right)\left(x-\left(-2\right)\right)=0$  

$\left(y-4\right)\cdot 1+6\left(x+2\right)=0$  

$y-4+6x+12=0$  

$y+6x+8=0$  

$y=-6x-8$  

Zatem:

$\text{AC:}y=-6x-8$  

Sprawdzamy, dla jakiej wartości m punkt B należy do prostej AC:

$2=-6m-8$  

$10=-6m\mid :\left(-6\right)$  

$m=-\frac{5}{3}$  

Zatem punkty A, B, C są współliniowe, gdy:

$m=-\frac{5}{3}$  

c) Podstawiamy współrzędne punktów A i B do równania w ramce, by wyznaczyć równanie prostej AB, a następnie przekształcamy równanie prostej do postaci kierunkowej:

$\left(y-y_A\right)\left(x_B-x_A\right)-\left(y_B-y_A\right)\left(x-x_A\right)=0$  

$\left(y-7\right)\left(-4-\left(-5\right)\right)-\left(-6-7\right)\left(x-\left(-5\right)\right)=0$  

$\left(y-7\right)\cdot 1+13\left(x+5\right)=0$  

$y-7+13x+65=0$  

$y+13x+58=0$  

$y=-13x-58$  

Zatem:

$\text{AB:}y=-13x-58$  

Sprawdzamy, dla jakiej wartości m punkt C należy do prostej AB:

$2m=-13m-58$  

$15m=-58\mid :15$  

$m=-\frac{58}{15}$  

Zatem punkty A, B, C są współliniowe, gdy:

$m=-\frac{58}{15}$  

d) Podstawiamy współrzędne punktów A i C do równania w ramce, by wyznaczyć równanie prostej AC, a następnie przekształcamy równanie prostej do postaci kierunkowej:

$\left(y-y_A\right)\left(x_C-x_A\right)-\left(y_C-y_A\right)\left(x-x_A\right)=0$  

$\left(y-4\right)\left(5-\left(-2\right)\right)-\left(-3-4\right)\left(x-\left(-2\right)\right)=0$  

$\left(y-4\right)\cdot 7+7\left(x+2\right)=0\mid :7$  

$y-4+x+2=0$  

$y+x-2=0$  

$y=-x+2$  

Zatem:

$\text{AC:}y=-x+2$  

Sprawdzamy, dla jakiej wartości m punkt B należy do prostej AC:

$1=-m^2+2$  

$m^2=1$  

$m=-1\text{lub}m=1$  

Zatem punkty A, B, C są współliniowe, gdy:

$m=-1\text{lub}m=1$