Napisz równania prostych zawierających...- Zadanie 4.46: Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy

Rozwiązanie

Równanie prostej AB, gdy A=(x_A, y_A), B=(x_B, y_B) i x_A≠x_B, ma postać:

$(y - y_{A}) (x_{B} - x_{A}) - (y_{B} - y_{A}) (x - x_{A}) = 0$

a) Rysunek poglądowy:

Punkty A i B mają tę samą drugą współrzędną (równą 0), więc leżą na prostej y=0. Stąd:

$AB: y = 0$

Prosta AC przechodzi przez początek układu współrzędnych, więc ma równanie:

$y = a x$

Podstawiamy współrzędne punktu C, by wyznaczyć a:

$4 = a \cdot 3 ∣ : 3$

$\frac{4}{3} = a$

$a = \frac{4}{3}$

Otrzymujemy:

$AC: y = \frac{4}{3} x$

Podstawiamy współrzędne punktów B i C do równania w ramce, by wyznaczyć równanie prostej BC, a następnie przekształcamy równanie prostej do postaci kierunkowej:

$(y - y_{B}) (x_{C} - x_{B}) - (y_{C} - y_{B}) (x - x_{B}) = 0$

$(y - 0) (3 - 5) - (4 - 0) (x - 5) = 0$

$y \cdot (- 2) - 4 (x - 5) = 0 ∣ : (- 2)$

$y + 2 (x - 5) = 0$

$y + 2 x - 10 = 0$

$y = - 2 x + 10$

Zatem:

$BC : y = - 2 x + 10$

b) Rysunek poglądowy:

Punkty A i C mają tę samą drugą współrzędną (równą 0), więc leżą na prostej y=0. Stąd:

$AC: y = 0$

Prosta AB przechodzi przez początek układu współrzędnych, więc ma równanie:

$y = a x$

Podstawiamy współrzędne punktu B, by wyznaczyć a:

$- 3 = a \cdot (- 3) ∣ : (- 3)$

$1 = a$

$a = 13$

Otrzymujemy:

$AB: y = x$

Podstawiamy współrzędne punktów B i C do równania w ramce, by wyznaczyć równanie prostej BC, a następnie przekształcamy równanie prostej do postaci kierunkowej:

$(y - y_{B}) (x_{C} - x_{B}) - (y_{C} - y_{B}) (x - x_{B}) = 0$

$(y - (- 3)) (3 - (- 3)) - (0 - (- 3)) (x - (- 3)) = 0$

$(y + 3) \cdot 6 - 3 (x + 3) = 0 ∣ : 3$

$2 (y + 3) - (x + 3) = 0$

$2 y + 6 - x - 3 = 0$

$2 y - x + 3 = 0$

$2 y = x - 3 ∣ \cdot \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$

Zatem:

$BC: y = \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$

c) Rysunek poglądowy:

Punkty B i C mają tę samą pierwszą współrzędną (równą 4), więc leżą na prostej x=4. Stąd:

$BC: x = 4$

Podstawiamy współrzędne punktów A i B do równania w ramce, by wyznaczyć równanie prostej AB, a następnie przekształcamy równanie prostej do postaci kierunkowej:

$(y - y_{A}) (x_{B} - x_{A}) - (y_{B} - y_{A}) (x - x_{A}) = 0$

$(y - 0) (4 - 1) - (4 - 0) (x - 1) = 0$

$y \cdot 3 - 4 (x - 1) = 0$

$3 y - 4 x + 4 = 0$

$3 y = 4 x - 4 ∣ : 3$

$y = \frac{4}{3} x - \frac{4}{3}$

Zatem:

$AB: y = \frac{4}{3} x - \frac{4}{3}$

Podstawiamy współrzędne punktów A i C do równania w ramce, by wyznaczyć równanie prostej AC, a następnie przekształcamy równanie prostej do postaci kierunkowej:

$(y - y_{A}) (x_{C} - x_{A}) - (y_{C} - y_{A}) (x - x_{A}) = 0$

$(y - 0) (4 - 1) - (- 4 - 0) (x - 1) = 0$

$y \cdot 3 + 4 (x - 1) = 0$

$3 y + 4 x - 4 = 0$

$3 y = - 4 x + 4 ∣ \cdot \frac{1}{3}$

$y = - \frac{4}{3} x + \frac{4}{3}$

Zatem:

$AC: y = - \frac{4}{3} x + \frac{4}{3}$

d) Rysunek poglądowy:

Punkty A i B mają tę samą pierwszą współrzędną (równą 0), więc leżą na prostej x=0. Stąd:

$AB: x = 0$

Podstawiamy współrzędne punktów A i C do równania w ramce, by wyznaczyć równanie prostej AC, a następnie przekształcamy równanie prostej do postaci kierunkowej:

$(y - y_{A}) (x_{C} - x_{A}) - (y_{C} - y_{A}) (x - x_{A}) = 0$

$(y - 4) (- 4 - 0) - (0 - 4) (x - 0) = 0$

$(y - 4) \cdot (- 4) + 4 x = 0 ∣ : (- 4)$

$y - 4 - x = 0$

$y = x + 4$

Zatem:

$AC: y = x + 4$

Podstawiamy współrzędne punktów B i C do równania w ramce, by wyznaczyć równanie prostej BC, a następnie przekształcamy równanie prostej do postaci kierunkowej:

$(y - y_{B}) (x_{C} - x_{B}) - (y_{C} - y_{B}) (x - x_{B}) = 0$