a) Wyznaczamy dziedzinę

$x+5=0\text{lub}x-2=0$  

$x=-5\text{lub}x=2$  

$\mathbf{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{-5,2\right\}$  

Szukamy takich A i B, aby spełniona była równość

$\frac{3x+1}{\left(x+5\right)\left(x-2\right)}=\frac{A}{x+5}+\frac{B}{x-2}\left(\ast \right)$  

Przekształcamy prawą stronę

$\frac{A}{x+5}+\frac{B}{x-2}=\frac{A\left(x-2\right)+B\left(x+5\right)}{\left(x+5\right)\left(x-2\right)}=\frac{Ax-2A+Bx+5B}{\left(x+5\right)\left(x-2\right)}=\frac{\left(A+B\right)x-2A+5B}{\left(x+5\right)\left(x-2\right)}$  

Jako, że zachodzi równość w mianownikach to również liczniki muszą być równe. Powstaje układ równań

$\{\begin{array}{l}3=A+B\\ 1=-2A+5B\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}3-A=B\\ 1=-2A+5B\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}3-A=B\\ 1=-2A+5\left(3-A\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}3-A=B\\ 1=-2A+15-5A\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}3-A=B\\ -7A=-14\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}3-A=B\\ A=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}B=3-2\\ A=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}B=1\\ A=2\end{array}$  

Zatem możemy zapisać wynik

$\frac{3x+1}{\left(x+5\right)\left(x-2\right)}=\frac{2}{x+5}+\frac{1}{x-2}$  

---

b) Wyznaczamy dziedzinę

$x^2-7x+10=0$  

$x^2-2x-5x+10=0$  

$x\left(x-2\right)-5\left(x-2\right)=0$  

$\left(x-2\right)\left(x-5\right)=0$  

$x=2\text{lub}x=5$  

$\mathbf{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{2,5\right\}$  

Szukamy takich A i B, aby spełniona była równość

$\frac{1}{\left(x-5\right)\left(x-2\right)}=\frac{A}{x-5}+\frac{B}{x-2}\left(\ast \right)$  

Przekształcamy prawą stronę

$\frac{A}{x-5}+\frac{B}{x-2}=\frac{A\left(x-2\right)+B\left(x-5\right)}{\left(x-5\right)\left(x-2\right)}=\frac{Ax-2A+Bx-5B}{\left(x-5\right)\left(x-2\right)}=\frac{\left(A+B\right)x-2A-5B}{\left(x-5\right)\left(x-2\right)}$  

Jako, że zachodzi równość w mianownikach to również liczniki muszą być równe. Powstaje układ równań

$\{\begin{array}{l}0=A+B\\ 1=-2A-5B\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-A=B\\ 1=-2A+5B\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-A=B\\ 1=-2A+5\left(-A\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-A=B\\ 1=-2A+5A\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-A=B\\ 3A=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-A=B\\ A=\frac{1}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}B=-\frac{1}{3}\\ A=\frac{1}{3}\end{array}$  

Zatem możemy zapisać wynik

$\frac{1}{\left(x-5\right)\left(x-2\right)}=\frac{1}{3\left(x-5\right)}-\frac{1}{3\left(x-2\right)}$  

---

c) Wyznaczamy dziedzinę

$x^2-x=0$  

$x\left(x-1\right)=0$  

$x=0\text{lub}x=1$  

$\mathbf{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{0,1\right\}$  

Szukamy takich A i B, aby spełniona była równość

$\frac{x-3}{x\left(x-1\right)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}\left(\ast \right)$  

Przekształcamy prawą stronę

$\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}=\frac{A\left(x-1\right)+Bx}{x\left(x-1\right)}=\frac{Ax-A+Bx}{x\left(x-1\right)}=\frac{\left(A+B\right)x-A}{x\left(x-1\right)}$  

Jako, że zachodzi równość w mianownikach to również liczniki muszą być równe. Powstaje układ równań

$\{\begin{array}{l}1=A+B\\ -3=-A\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}1=A+B\\ A=3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}1=3+B\\ A=3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}B=-2\\ A=3\end{array}$  

Zatem możemy zapisać wynik

$\frac{x-3}{x\left(x-1\right)}=\frac{3}{x}-\frac{2}{x-1}$  

---

d) Wyznaczamy dziedzinę

$x^2-2x-3=0$  

$x^2+x-3x-3=0$  

$x\left(x+1\right)-3\left(x+1\right)=0$  

$\left(x+1\right)\left(x-3\right)=0$  

$x=-1\text{lub}x=3$  

$\mathbf{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{-1,3\right\}$  

Szukamy takich A i B, aby spełniona była równość

$\frac{x}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-3}\left(\ast \right)$  

Przekształcamy prawą stronę

$\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-3}=\frac{A\left(x-3\right)+B\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}=\frac{Ax-3A+Bx+B}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}=\frac{\left(A+B\right)x-3A+B}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}$  

Jako, że zachodzi równość w mianownikach to również liczniki muszą być równe. Powstaje układ równań

$\{\begin{array}{l}1=A+B\\ 0=-3A+B\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}1=A+B\\ 3A=B\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}1=A+3A\\ 3A=B\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}1=4A\\ 3A=B\end{array}$

$\{\begin{array}{l}A=\frac{1}{4}\\ 3A=B\end{array}$

$\{\begin{array}{l}A=\frac{1}{4}\\ B=\frac{3}{4}\end{array}$

Zatem możemy zapisać wynik

$\frac{x}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}=\frac{1}{4\left(x+1\right)}+\frac{3}{4\left(x-3\right)}$