Obrazem punktu P=(x, y) w symetrii względem: osi x jest punkt P'=(x, -y), co zapisujemy Sx((x, y))=(x, -y), osi y jest punkt P'=(-x, y), co zapisujemy Sy((x, y))=(-x, y).

---

$\text{a)}{\left(x+1\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=16$  

Odczytujemy współrzędne środka i długość promienia okręgu:

$S=\left(-1,4\right),r=4$  

---

Ad. 1

Okrąg symetryczny do danego względem osi x ma środek w punkcie S'=S_x(S) i ten sam promień.

Wyznaczamy współrzędne środka okręgu symetrycznego do danego względem osi x:

$S{}^{\prime }=\left(-1,-4\right)$  

Zapisujemy równanie okręgu o środku w punkcie S' i promieniu r=4:

${\left(x+1\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2=16$  

---

Ad. 2

Okrąg symetryczny do danego względem osi y ma środek w punkcie S''=S_y(S) i ten sam promień.

Wyznaczamy współrzędne środka okręgu symetrycznego do danego względem osi y:

$S{}^{\prime \prime }=\left(1,4\right)$  

Zapisujemy równanie okręgu o środku w punkcie S'' i promieniu r=4:

${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=16$  

---

---

$\text{b)}{\left(x-5\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=4$  

Odczytujemy współrzędne środka i długość promienia okręgu:

$S=\left(5,-2\right),r=2$  

---

Ad. 1

Okrąg symetryczny do danego względem osi x ma środek w punkcie S'=S_x(S) i ten sam promień.

Wyznaczamy współrzędne środka okręgu symetrycznego do danego względem osi x:

$S{}^{\prime }=\left(5,2\right)$  

Zapisujemy równanie okręgu o środku w punkcie S' i promieniu r=2:

${\left(x-5\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=4$  

---

Ad. 2

Okrąg symetryczny do danego względem osi y ma środek w punkcie S''=S_y(S) i ten sam promień.

Wyznaczamy współrzędne środka okręgu symetrycznego do danego względem osi y:

$S{}^{\prime \prime }=\left(-5,-2\right)$  

Zapisujemy równanie okręgu o środku w punkcie S'' i promieniu r=2:

${\left(x+5\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=4$  

---

---

$\text{c)}{x}^2+{\left(y+1\right)}^2=16$  

Odczytujemy współrzędne środka i długość promienia okręgu:

$S=\left(0,-1\right),r=4$  

---

Ad. 1

Okrąg symetryczny do danego względem osi x ma środek w punkcie S'=S_x(S) i ten sam promień.

Wyznaczamy współrzędne środka okręgu symetrycznego do danego względem osi x:

$S{}^{\prime }=\left(0,1\right)$  

Zapisujemy równanie okręgu o środku w punkcie S' i promieniu r=4:

$x^2+{\left(y-1\right)}^2=16$  

---

Ad. 2

Okrąg symetryczny do danego względem osi y ma środek w punkcie S''=S_y(S) i ten sam promień.

Wyznaczamy współrzędne środka okręgu symetrycznego do danego względem osi y:

$S{}^{\prime \prime }=\left(0,-1\right)$  

Zapisujemy równanie okręgu o środku w punkcie S'' i promieniu r=4:

$x^2+{\left(y+1\right)}^2=16$  

---

---

$\text{d)}{\left(x+2\right)}^2+y^2=1$  

Odczytujemy współrzędne środka i długość promienia okręgu:

$S=\left(-2,0\right),r=1$  

---

Ad. 1

Okrąg symetryczny do danego względem osi x ma środek w punkcie S'=S_x(S) i ten sam promień.

Wyznaczamy współrzędne środka okręgu symetrycznego do danego względem osi x:

$S{}^{\prime }=\left(-2,0\right)$  

Zapisujemy równanie okręgu o środku w punkcie S' i promieniu r=1:

${\left(x+2\right)}^2+y^2=1$  

---

Ad. 2

Okrąg symetryczny do danego względem osi y ma środek w punkcie S''=S_y(S) i ten sam promień.

Wyznaczamy współrzędne środka okręgu symetrycznego do danego względem osi y:

$S{}^{\prime \prime }=\left(2,0\right)$  

Zapisujemy równanie okręgu o środku w punkcie S'' i promieniu r=1:

${\left(x-2\right)}^2+y^2=1$  

---

---

$\text{e)}{x}^2+y^2+6x-2y+6=0$  

Przekształcamy równanie okręgu do postaci kanonicznej:

$x^2+y^2+6x-2y+6=0$  

$x^2+6x+\underset{0}{\underbrace{9-9}}+y^2-2y+\underset{0}{\underbrace{1-1}}+6=0$  

$x^2+6x+9+y^2-2y+1-9-1+6=0$  

${\left(x+3\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2-4=0$  

${\left(x+3\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=4$  

Odczytujemy współrzędne środka i długość promienia okręgu:

$S=\left(-3,1\right),r=2$  

---

Ad. 1

Okrąg symetryczny do danego względem osi x ma środek w punkcie S'=S_x(S) i ten sam promień.

Wyznaczamy współrzędne środka okręgu symetrycznego do danego względem osi x:

$S{}^{\prime }=\left(-3,-1\right)$  

Zapisujemy równanie okręgu o środku w punkcie S' i promieniu r=2:

${\left(x+3\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=4$  

---

Ad. 2

Okrąg symetryczny do danego względem osi y ma środek w punkcie S''=S_y(S) i ten sam promień.

Wyznaczamy współrzędne środka okręgu symetrycznego do danego względem osi y:

$S{}^{\prime \prime }=\left(3,1\right)$  

Zapisujemy równanie okręgu o środku w punkcie S'' i promieniu r=2:

${\left(x-3\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=4$  

---

---

$\text{f)}{x}^2+y^2-8x+6y+16=0$  

Przekształcamy równanie okręgu do postaci kanonicznej:

$x^2+y^2-8x+6y+16=0$  

$x^2-8x+\underset{0}{\underbrace{16-16}}+y^2+6y+\underset{0}{\underbrace{9-9}}+16=0$  

$x^2-8x+16+y^2+6y+9-16-9+16=0$  

${\left(x-4\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2-9=0$  

${\left(x-4\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2=9$  

Odczytujemy współrzędne środka i długość promienia okręgu:

$S=\left(4,-3\right),r=3$  

---

Ad. 1

Okrąg symetryczny do danego względem osi x ma środek w punkcie S'=S_x(S) i ten sam promień.

Wyznaczamy współrzędne środka okręgu symetrycznego do danego względem osi x:

$S{}^{\prime }=\left(4,3\right)$  

Zapisujemy równanie okręgu o środku w punkcie S' i promieniu r=3:

${\left(x-4\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=9$  

---

Ad. 2

Okrąg symetryczny do danego względem osi y ma środek w punkcie S''=S_y(S) i ten sam promień.

Wyznaczamy współrzędne środka okręgu symetrycznego do danego względem osi y:

$S{}^{\prime \prime }=\left(-4,-3\right)$  

Zapisujemy równanie okręgu o środku w punkcie S'' i promieniu r=3:

${\left(x+4\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2=9$