Napisz równanie okręgu o najmniejszym...- Zadanie 6.54: Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Przekształcamy równanie prostej do postaci kierunkowej:

$x + 2 y - 20 = 0$

$2 y = - x + 20 ∣ : 2$

$y = - \frac{1}{2} x + 10$

Rysunek poglądowy:

Okrąg o najmniejszym promieniu styczny jednocześnie do okręgu x²+y²=16 i prostej y=-¹/₂x+10, to okrąg, którego środek leży na prostej prostopadłej do prostej y=-¹/₂x+10 przechodzącej przez środek okręgu x²+y²=16.

Odczytujemy współrzędne środka i długość promienia okręgu x²+y²=16:

$O = (0, 0), R = 4$

Prosta y=ax+b przechodzi przez punkt (0, 0), więc:

$b = 0$

Wówczas równanie prostej przyjmuje postać:

$y = a x$

Proste y=ax i y=-¹/₂x+10 są prostopadłe, więc iloczyn ich współczynników kierunkowych równy jest -1. Stąd:

$a \cdot (- \frac{1}{2}) = - 1 ∣ \cdot (- 2)$

$a = 2$

Zatem równanie prostej to:

$y = 2 x$

Obliczamy odległość punktu O od prostej x+2y-20=0, czyli długość odcinka OA, korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej:

$∣ O A ∣ = \frac{∣ 1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 20 ∣}{1 ^{2} + 2 ^{2}} = \frac{∣ - 20 ∣}{1 + 4} = \frac{20}{5} = \frac{20}{5} \cdot \frac{5}{5} = \frac{20 5}{5} = 45$

Długość odcinka AB jest równa długości odcinka OA pomniejszonej o długość odcinka OB, czyli o promień okręgu x²+y²=16:

$∣ A B ∣ = ∣ O A ∣ - ∣ O B ∣ = ∣ O A ∣ - R = 45 - 4 = 4 (5 - 1)$

Promień szukanego okręgu ma długość połowy odcinka AB, czyli:

$r = \frac{1}{2} \cdot ∣ A B ∣ = \frac{1}{2} \cdot 4 (5 - 1) = 2 (5 - 1)$

Wyznaczamy współrzędne punktu A, czyli punktu przecięcia prostych y=2x i y=-¹/₂x+10:

${y = 2 x y = - \frac{1}{2} x + 10$

Podstawiamy y=2x do drugiego równania w układzie.

${y = 2 x 2 x = - \frac{1}{2} x + 10 ∣ \cdot 2$

${y = 2 x 4 x = - x + 20$

${y = 2 x 5 x = 20 ∣ : 5$

${y = 2 x x = 4$

Podstawiamy x=4 do pierwszego równania w układzie.

${y = 2 \cdot 4 x = 4$

${y = 8 x = 4$

${x = 4 y = 8$

Zatem:

$A = (4, 8)$

Środek S leży na prostej y=2x, więc jego współrzędne są postaci:

$S = (s, 2 s)$

Zapisujemy równanie szukanego okręgu o środku w punkcie S i promieniu r:

$(x - s)^{2} + (y - 2 s)^{2} = [2 (5 - 1)]^{2}$

$(x - s)^{2} + (y - 2 s)^{2} = 4 (5 - 1)^{2}$

Podstawiamy współrzędne punktu A=(4, 8) do równania okręgu i wyznaczamy s:

$(4 - s)^{2} + (8 - 2 s)^{2} = 4 (5 - 1)^{2}$

$(4 - s)^{2} + [2 (4 - s)]^{2} = 4 (5 - 1)^{2}$

$(4 - s)^{2} + 4 (4 - s)^{2} = 4 (5 - 1)^{2}$

$5 (4 - s)^{2} = 4 (5 - 1)^{2} ∣ : 5$

$(4 - s)^{2} = \frac{4 ( 5 - 1 ) ^{2}}{5}$

$(4 - s)^{2} = \frac{20 ( 5 - 1 ) ^{2}}{25}$

$4 - s = \frac{2 5 ( 5 - 1 )}{5} lub 4 - s = - \frac{2 5 ( 5 - 1 )}{5} ∣ \cdot (- 1)$

$s - 4 = - \frac{2 5 ( 5 - 1 )}{5} lub s - 4 = \frac{2 5 ( 5 - 1 )}{5}$

$s = 4 - \frac{2 5 ( 5 - 1 )}{5} lub s = 4 + \frac{2 5 ( 5 - 1 )}{5}$

$s = 4 - \frac{2 ( 5 - 5 )}{5} lub s = 4 + \frac{2 ( 5 - 5 )}{5}$

$s = \frac{20}{5} - \frac{2 ( 5 - 5 )}{5} lub s = \frac{20}{5} + \frac{2 ( 5 - 5 )}{5}$

$s = \frac{20 - 2 ( 5 - 5 )}{5} lub s = \frac{20 + 2 ( 5 - 5 )}{5}$

$s = \frac{20 - 10 + 2 5}{5} lub s = \frac{20 + 10 - 2 5}{5}$

$s = \frac{10 + 2 5}{5} lub s = \frac{30 - 2 5}{5}$

$s = \frac{2 ( 5 + 5 )}{5} lub s = \frac{2 ( 15 - 5 )}{5}$

Szukany okrąg ma być styczny do okręgu o środku O=(0, 0) i prostej w punkcie A=(4, 8), więc pierwsza współrzędna środka szukanego okręgu musi być z przedziału (0, 4).

Oszacujmy otrzymane wartości:

$\frac{2 ( 5 + 5 )}{5} \approx 2, 9 \in (0, 4)$