Dwa okręgi o środkach S1 i S2 i promieniach odpowiednio r1 i r2: są rozłączne zewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy |S1S2| > r1 + r2. są styczne zewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy |S1S2| = r1 + r2. przecinają się wtedy i tylko wtedy, gdy |r1 - r2| |S1S2| są styczne wewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy |S1S2| =|r1 - r2|≠ 0.  są rozłączne wewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy |S1S2|

---

a) Odczytujemy współrzędne środków i długości promieni okręgów:

$S_1=\left(4,-5\right),r_1=2$  

$S_2=\left(-1,1\right),r_2=1$  

Obliczamy odległość między środkami okręgów oraz sumę i wartość bezwzględną różnicy długości promieni:

$\left|S_1{S}_2\right|=\sqrt{{\left(-1-4\right)}^2+{\left(1-\left(-5\right)\right)}^2}=\sqrt{{\left(-5\right)}^2+6^2}=\sqrt{25+36}=\sqrt{61}$  

$r_1+r_2=2+1=3$  

$\left|r_1-r_2\right|=\left|2-1\right|=\left|1\right|=1$  

Mamy:

$\left|S_1{S}_2\right|>r_1+r_2$  

więc okręgi są rozłączne zewnętrznie.

---

b) Odczytujemy współrzędne środków i długości promieni okręgów:

$S_1=\left(0,0\right),r_1=1$  

$S_2=\left(4,3\right),r_2=4$  

Obliczamy odległość między środkami okręgów oraz sumę i wartość bezwzględną różnicy długości promieni:

$\left|S_1{S}_2\right|=\sqrt{{\left(4-0\right)}^2+{\left(3-0\right)}^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$  

$r_1+r_2=1+4=5$  

$\left|r_1-r_2\right|=\left|1-4\right|=\left|-3\right|=3$  

Mamy:

$\left|S_1{S}_2\right|=r_1+r_2$  

więc okręgi są styczne zewnętrznie.

---

c) Przekształcamy równanie pierwszego okręgu do postaci kanonicznej:

$x^2+y^2-4x+2y+1=0$  

$x^2-4x+y^2+2y+1=0$  

Uzupełniamy wyrażenie x²+4x do wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.

$x^2-4x+\underset{0}{\underbrace{4-4}}+y^2+2y+1=0$  

$x^2-4x+4+y^2+2y+1-4=0$  

${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2-4=0$  

${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=4$  

Równanie drugiego okręgu ma postać:

${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=4$  

Równania obu okręgów mają tę samą postać, więc są to okręgi współśrodkowe pokrywające się.

---

d) Przekształcamy równanie pierwszego okręgu do postaci kanonicznej:

$x^2+y^2+6x-2y+8=0$  

$x^2+6x+y^2-2y+8=0$  

Uzupełniamy wyrażenia x²+6x i y²-2y do wzorów skróconego mnożenia na kwadrat sumy i różnicy.

$x^2+6x+\underset{0}{\underbrace{9-9}}+y^2-2y+\underset{0}{\underbrace{1-1}}+8=0$  

$x^2+6x+9+y^2-2y+1-9-1+8=0$  

${\left(x+3\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2-2=0$  

${\left(x+3\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=2$  

Odczytujemy współrzędne środka i długość promienia okręgu:

$S_1=\left(-3,1\right),r_1=\sqrt{2}$  

Przekształcamy równanie drugiego okręgu do postaci kanonicznej:

$x^2+y^2-2x-10y+8=0$  

$x^2-2x+y^2-10y+8=0$  

Uzupełniamy wyrażenia x²-2x i y²-10y do wzorów skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.

$x^2-2x+\underset{0}{\underbrace{1-1}}+y^2-10y+\underset{0}{\underbrace{25-25}}+8=0$  

$x^2-2x+1+y^2-10y+25-1-25+8=0$  

${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2-18=0$  

${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2=18$  

Odczytujemy współrzędne środka i długość promienia okręgu:

$S_2=\left(1,5\right),r_1=3\sqrt{2}$  

Obliczamy odległość między środkami okręgów oraz sumę i wartość bezwzględną różnicy długości promieni:

$\left|S_1{S}_2\right|=\sqrt{{\left(1-\left(-3\right)\right)}^2+{\left(5-1\right)}^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{2\cdot 4^2}=4\sqrt{2}$  

$r_1+r_2=\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}$  

$\left|r_1-r_2\right|=\left|\sqrt{2}-3\sqrt{2}\right|=\left|-2\sqrt{2}\right|=2\sqrt{2}$  

Mamy:

$\left|S_1{S}_2\right|=r_1+r_2$  

więc okręgi są styczne zewnętrznie.

---

e) Przekształcamy równanie drugiego okręgu do postaci kanonicznej:

$x^2+y^2-6x-4y=0$  

$x^2-6x+y^2-4y=0$  

Uzupełniamy wyrażenia x²-6x i y²-4y do wzorów skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.

$x^2-6x+\underset{0}{\underbrace{9-9}}+y^2-4y+\underset{0}{\underbrace{4-4}}=0$  

$x^2-6x+9+y^2-4y+4-9-4=0$  

${\left(x-3\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2-13=0$  

${\left(x-3\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=13$  

Odczytujemy współrzędne środków i długości promieni okręgów:

$S_1=\left(-1,-2\right),r_1=\sqrt{10}$  

$S_2=\left(3,2\right),r_2=\sqrt{13}$  

Obliczamy odległość między środkami okręgów oraz sumę i wartość bezwzględną różnicy długości promieni:

$\left|S_1{S}_2\right|=\sqrt{{\left(3-\left(-1\right)\right)}^2+{\left(2-\left(-2\right)\right)}^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{2\cdot 4^2}=4\sqrt{2}$  

$r_1+r_2=\sqrt{10}+\sqrt{13}$  

$\left|r_1-r_2\right|=\left|\sqrt{10}-\sqrt{13}\right|=\sqrt{13}-\sqrt{10}$  

Mamy:

$\left|S_1{S}_2\right|=4\sqrt{2}=2\cdot 2\sqrt{2}=2\sqrt{8}=\sqrt{8}+\sqrt{8}<\sqrt{10}+\sqrt{13}=r_1+r_2$  

$\left|r_1-r_2\right|<\left|S_1{S}_2\right|$  

więc okręgi przecinają się.

---

f) Przekształcamy równanie pierwszego okręgu do postaci kanonicznej:

$x^2+y^2-2x=0$  

$x^2-2x+y^2=0$  

Uzupełniamy wyrażenie x²-2x do wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.

$x^2-2x+\underset{0}{\underbrace{1-1}}+y^2=0$  

$x^2-2x+1+y^1-1=0$  

${\left(x-1\right)}^2+y^2=1$  

Przekształcamy równanie drugiego okręgu do postaci kanonicznej:

$x^2+y^2-4x=0$  

$x^2-4x+y^2=0$  

Uzupełniamy wyrażenie x²-4x do wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.

$x^2-4x+\underset{0}{\underbrace{4-4}}+y^2=0$  

$x^2-4x+4+y^1-4=0$  

${\left(x-2\right)}^2+y^2=4$  

Odczytujemy współrzędne środków i długości promieni okręgów:

$S_1=\left(1,0\right),r_1=1$  

$S_2=\left(2,0\right),r_2=2$  

Obliczamy odległość między środkami okręgów oraz sumę i wartość bezwzględną różnicy długości promieni:

$\left|S_1{S}_2\right|=\sqrt{{\left(2-1\right)}^2+{\left(0-0\right)}^2}=\sqrt{1^2}=1$  

$r_1+r_2=1+2=3$  

$\left|r_1-r_2\right|=\left|1-2\right|=\left|-1\right|=1$  

MamyL

$\left|S_1{S}_2\right|=\left|r_1-r_2\right|\ne 0$  

więc okręgi są styczne wewnętrznie.