Dwie proste o równaniach ogólnych A1x+B1y+C1=0 i A2x+B2y+C2=0: są równoległe, gdy A1B2-A2B1=0, przecinają się, gdy A1B2-A2B1≠0, są prostopadłe, gdy A1A2+B1B2=0.

---

Uwaga: Pierwsze równanie zawiera błąd. W nawiasie powinno znajdować się wyrażenie 2m-3.

---

Odczytujemy współczynniki prostych:

$mx-\left(2m-3\right)y+3=0$  

$A_1=m,B_1=-\left(2m-3\right),C_1=3$  

$\left(2m+5\right)x+\left(m+6\right)y-6=0$  

$A_2=2m+5,B_2=m+6,C_2=-6$  

---

a) Proste są równoległe, gdy:

$A_1{B}_2-A_2{B}_1=0$  

$m\left(m+6\right)-\left(2m+5\right)\left[-\left(2m-3\right)\right]=0$  

$m\left(m+6\right)+\left(2m+5\right)\left(2m-3\right)=0$  

$m^2+6m+4m^2-6m+10m-15=0$  

$5m^2+10m-15=0\mid :5$  

$m^2+2m-3=0$  

$\Delta =4+12=16,\sqrt{\Delta }=4$  

$m=\frac{-2-4}{2}=\frac{-6}{2}=-3\text{lub}m=\frac{-2+4}{2}=\frac{2}{2}=1$  

---

b) Proste są prostopadłe, gdy:

$A_1{A}_2+B_1{B}_2=0$  

$m\left(2m+5\right)-\left(2m-3\right)\left(m+6\right)=0$  

$2m^2+5m-\left(2m^2+12m-3m-18\right)=0$  

$2m^2+5m-\left(2m^2+9m-18\right)=0$  

$2m^2+5m-2m^2-9m+18=0$  

$-4m+18=0$  

$4m=18\mid :4$  

$m=4,5$