$f\left(x\right)=-x^2+bx+c$  

Uwaga: W treści zadania znajduje się błąd - przedziały monotoniczności powinny być postaci (-oo, 2>, <2, +oo).

---

Funkcja jest rosnąca w przedziale (-oo, 2> i malejąca w przedziale <2,+oo), więc pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli jest równa 2.

Mamy więc:

$p=2$  

$-\frac{b}{2\cdot \left(-1\right)}=2$  

$\frac{b}{2}=2\mid \cdot 2$  

$b=4$  

Iloczyn miejsc zerowych funkcji jest równy 3, więc korzystając ze wzoru Viete'a otrzymujemy:

$x_1\cdot x_2=3$  

$\frac{c}{-1}=3\mid \cdot \left(-1\right)$  

$c=-3$  

---

Dla wyznaczonych wartości b i c wzór funkcji przyjmuje postać:

$f\left(x\right)=-x^2+4x-3$  

---

Korzystając ze wzorów Viete'a obliczamy sumę i sumę kwadratów pierwiastków:

$x_1+x_2=-\frac{b}{-1}=b=4$  

$x_1^2+x_2^2=x_1^2+\underset{0}{\underbrace{2x_1{x}_2-2x_1{x}_2}}+x_2^2=\left(x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2\right)-2x_1{x}_2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=4^2-2\cdot 3=16-6=10$  

---

Prawidłowe odpowiedzi to A, B, C.