Rozwiąż nierówność...- Zadanie 13.70: Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

$a) \frac{3 x - 5}{x + 4} < 1$

$\frac{3 x - 5}{x + 4} < 1 \land \frac{3 x - 5}{x + 4} > - 1$

$\frac{3 x - 5}{x + 4} - 1 < 0 \land \frac{3 x - 5}{x + 4} + 1 > 0$

$\frac{3 x - 5}{x + 4} - \frac{x + 4}{x + 4} < 0 \land \frac{3 x - 5}{x + 4} + \frac{x + 4}{x + 4} > 0$

$\frac{3 x - 5 - x - 4}{x + 4} < 0 \land \frac{3 x - 5 + x + 4}{x + 4} > 0$

$\frac{2 x - 9}{x + 4} < 0 \land \frac{4 x - 1}{x + 4} > 0$

$(2 x - 9) (x + 4) < 0 \land (4 x - 1) (x + 4) > 0$

Rozwiązanie jako część wspólna

$x \in (\frac{1}{4}, \frac{9}{2})$

$b) \frac{x + 2}{2 x - 3} \geq 3$

$1 . \frac{x + 2}{2 x - 3} \geq 3 \lor 2 . \frac{x + 2}{2 x - 3} \leq - 3$

$\frac{x + 2}{2 x - 3} \geq 3$

$\frac{x + 2}{2 x - 3} - 3 \geq 0$

$\frac{x + 2}{2 x - 3} - \frac{6 x - 9}{2 x - 3} \geq 0$

$\frac{x + 2 - 6 x + 9}{2 x - 3} \geq 0$

$\frac{11 - 5 x}{2 x - 3} \geq 0$

$(11 - 5 x) (2 x - 3) \geq 0 \land 2 x - 3 \neq = 0$

$(11 - 5 x) (2 x - 3) \geq 0 \land x \neq = \frac{3}{2}$

$x \in (\frac{3}{2}, \frac{11}{5} ⟩$

$\frac{x + 2}{2 x - 3} \leq - 3$

$\frac{x + 2}{2 x - 3} + 3 \leq 0$

$\frac{x + 2}{2 x - 3} + \frac{6 x - 9}{2 x - 3} \leq 0$

$\frac{x + 2 + 6 x - 9}{2 x - 3} \leq 0$

$\frac{7 x - 7}{2 x - 3} \leq 0$

$(7 x - 7) (2 x - 3) \leq 0 \land 2 x - 3 \neq = 0$

$7 (x - 1) (2 x - 3) \leq 0 \land x \neq = \frac{3}{2}$

$x \in ⟨ 1, \frac{3}{2})$

Rozwiązanie to suma rozwiązań, stąd

$x \in ⟨ 1, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \frac{11}{5} ⟩$

$c) \frac{5 x - 1}{x - 2} \leq 4$

$1 . \frac{5 x - 1}{x - 2} \leq 4 \land 2 . \frac{5 x - 1}{x - 2} \geq - 4$

$\frac{5 x - 1}{x - 2} \leq 4$

$\frac{5 x - 1}{x - 2} - 4 \leq 0$

$\frac{5 x - 1}{x - 2} - \frac{4 x - 8}{x - 2} \leq 0$

$\frac{5 x - 1 - 4 x + 8}{x - 2} \leq 0$

$\frac{x + 7}{x - 2} \leq 0$

$(x + 7) (x - 2) \leq 0 \land x - 2 \neq = 0$

$(x + 7) (x - 2) \leq 0 \land x \neq = 2$

$x \in ⟨ - 7, 2)$

$\frac{5 x - 1}{x - 2} \geq - 4$

$\frac{5 x - 1}{x - 2} + 4 \geq 0$

$\frac{5 x - 1}{x - 2} + \frac{4 x - 8}{x - 2} \geq 0$

$\frac{5 x - 1 + 4 x - 8}{x - 2} \geq 0$

$\frac{9 x - 9}{x - 2} \geq 0$

$(9 x - 9) (x - 2) \geq 0 \land x - 2 \neq = 0$

$9 (x - 1) (x - 2) \geq 0 \land x \neq = 2$

$x \in (- \infty, 1 ⟩ \cup (2, + \infty)$

Rozwiązanie to część wspólna, stąd

$x \in ⟨ - 7, 1 ⟩$

$d) \frac{x ^{2} - 5 x + 3}{x ^{2} - 1} \leq 1$

$1 . \frac{x ^{2} - 5 x + 3}{x ^{2} - 1} \leq 1 \land 2 . \frac{x ^{2} - 5 x + 3}{x ^{2} - 1} \geq - 1$

$\frac{x ^{2} - 5 x + 3}{x ^{2} - 1} \leq 1$

$\frac{x ^{2} - 5 x + 3}{x ^{2} - 1} - 1 \leq 0$

$\frac{x ^{2} - 5 x + 3}{x ^{2} - 1} - \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} - 1} \leq 0$

$\frac{x ^{2} - 5 x + 3 - x ^{2} + 1}{x ^{2} - 1} \leq 0$

$\frac{- 5 x + 4}{x ^{2} - 1} \leq 0$

$(- 5 x + 4) (x^{2} - 1) \leq 0 \land x^{2} - 1 \neq = 0$

$- (5 x - 4) (x - 1) (x + 1) \leq 0 \land (x - 1) (x + 1) \neq = 0$

$- (5 x - 4) (x - 1) (x + 1) \leq 0 \land x \neq = 1 \land x \neq = - 1$

$x \in (- 1, \frac{4}{5} ⟩ \cup (1, + \infty)$

$\frac{x ^{2} - 5 x + 3}{x ^{2} - 1} \geq - 1$

$\frac{x ^{2} - 5 x + 3}{x ^{2} - 1} + 1 \geq 0$

$\frac{x ^{2} - 5 x + 3}{x ^{2} - 1} + \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} - 1} \geq 0$

$\frac{x ^{2} - 5 x + 3 + x ^{2} - 1}{x ^{2} - 1} \geq 0$

$\frac{2 x ^{2} - 5 x + 2}{x ^{2} - 1} \geq 0$

$(2 x^{2} - 5 x + 2) (x^{2} - 1) \geq 0 \land x^{2} - 1 \neq = 0$

$(2 x^{2} - 5 x + 2) (x - 1) (x + 1) \geq 0 \land (x - 1) (x + 1) \neq = 0$

$\sim\sim\sim\sim\sim\sim\sim\sim$

$Δ = (- 5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9, Δ = 3$

$x = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2} lub \frac{5 + 3}{4} = 2$

$\sim\sim\sim\sim\sim\sim\sim\sim$

$2 (x - \frac{1}{2}) (x - 2) (x - 1) (x + 1) \geq 0 \land x \neq = 1 \land x \neq = - 1$

$x \in (- \infty, - 1) \cup ⟨ \frac{1}{2}, 1) \cup ⟨ 2, + \infty)$

Rozwiązanie to część wspólna, stąd

$x \in ⟨ \frac{1}{2}, \frac{4}{5} ⟩ \cup ⟨ 2, + \infty)$

$e) \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} - 1} \geq 1$

$1 . \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} - 1} \geq 1 \lor 2 . \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} - 1} \leq - 1$

$\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} - 1} \geq 1$

$\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} - 1} - 1 \geq 0$

$\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} - 1} - \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} - 1} \geq 0$

$\frac{x ^{2} - 5 x + 6 - x ^{2} + 1}{x ^{2} - 1} \geq 0$

$\frac{- 5 x + 7}{x ^{2} - 1} \geq 0$

$(- 5 x + 7) (x^{2} - 1) \geq 0 \land x^{2} - 1 \neq = 0$

$(- 5 x + 7) (x - 1) (x + 1) \geq 0 \land (x - 1) (x + 1) \neq = 0$

$(- 5 x + 7) (x - 1) (x + 1) \geq 0 \land x \neq = 1 \land x \neq = - 1$

$x \in (- \infty, - 1) \cup (1, \frac{7}{5} ⟩$

$\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} - 1} \leq - 1$

$\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} - 1} + 1 \leq 0$

$\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} - 1} + \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} - 1} \leq 0$

$\frac{x ^{2} - 5 x + 6 + x ^{2} - 1}{x ^{2} - 1} \leq 0$

$\frac{2 x ^{2} - 5 x + 5}{x ^{2} - 1} \leq 0$

$(2 x^{2} - 5 x + 5) (x^{2} - 1) \leq 0 \land x^{2} - 1 \neq = 0$

$Δ = 25 - 40 < 0 (2 x^{2} - 5 x + 5) (x - 1) (x + 1) \leq 0 \land (x - 1) (x + 1) \neq = 0$

$> 0 (2 x^{2} - 5 x + 5) (x - 1) (x + 1) \leq 0 \land x \neq = 1 \land x \neq = - 1$

$x \in (- 1, 1)$

Rozwiązanie to suma, stąd

$x \in (- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \frac{7}{5} ⟩$

$f) \frac{x ^{2}}{x ^{2} - 1} < 1$

$1 . \frac{x ^{2}}{x ^{2} - 1} < 1 \land 2 . \frac{x ^{2}}{x ^{2} - 1} > - 1$

$\frac{x ^{2}}{x ^{2} - 1} < 1$

$\frac{x ^{2}}{x ^{2} - 1} - 1 < 0$

$\frac{x ^{2}}{x ^{2} - 1} - \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} - 1} < 0$

$\frac{x ^{2} - x ^{2} + 1}{x ^{2} - 1} < 0$

$\frac{1}{x ^{2} - 1} < 0$

$x^{2} - 1 < 0$

$(x - 1) (x + 1) < 0$

$x \in (- 1, 1)$

$\frac{x ^{2}}{x ^{2} - 1} > - 1$

$\frac{x ^{2}}{x ^{2} - 1} + 1 > 0$

$\frac{x ^{2}}{x ^{2} - 1} + \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} - 1} > 0$

$\frac{x ^{2} + x ^{2} - 1}{x ^{2} - 1} > 0$

$\frac{2 x ^{2} - 1}{x ^{2} - 1} > 0$

$(2 x^{2} - 1) (x^{2} - 1) > 0$

$(2 x + 1) (2 x - 1) (x - 1) (x + 1) > 0$

$x \in (- \infty, - 1) \cup (- \frac{2}{2}, \frac{2}{2}) \cup (1, + \infty)$

Rozwiązanie to część wspólna, stąd

$x \in (- \frac{2}{2}, \frac{2}{2})$

Natalia Wodka

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych

11:41

Zobacz lekcję

Kombinatoryka - zadania złożone

Premium

10:04

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Zadania tekstowe z układami równań (1)

Premium

11:09

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.