Wykonaj działania...- Zadanie 13.35: Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

a) Wyznaczamy dziedzinę

$3 - x = 0 lub x - 1 = 0$

$x = 3 lub x = 1$

$D = R \ {1, 3}$

Wykonujemy działania

$(\frac{2}{3 - x} + \frac{5}{x - 1}) : \frac{4}{( x - 3 ) ( x - 1 )} = (\frac{2 ( x - 1 )}{( 3 - x ) ( x - 1 )} + \frac{5 ( 3 - x )}{( 3 - x ) ( x - 1 )}) \cdot \frac{( x - 3 ) ( x - 1 )}{4} = \frac{2 x - 2 + 15 - 5 x}{( 3 - x ) ( x - 1 )} \cdot \frac{( x - 3 ) ( x - 1 )}{4} = \frac{- 3 x + 13}{( 3 - x ) ( x - 1 )} \cdot \frac{( x - 3 ) ( x - 1 )}{4} = \frac{( 3 x - 13 ) ( 3 - x )}{4 ( 3 - x )} = \frac{3 x - 13}{4}$

b) Wyznaczamy dziedzinę

$2 x - 4 = 0 lub x + 2 = 0 lub 2 x + 1 = 0$

$x - 2 = 0 lub x + 2 = 0 lub x + \frac{1}{2} = 0$

$x = 2 lub x = - 2 lub x = - \frac{1}{2}$

$D = R \ {- 2, - \frac{1}{2}, 2}$

Wykonujemy działania

$(\frac{7}{2 x - 4} - \frac{3}{x + 2}) \cdot \frac{3 x ^{2} - 12}{2 x + 1} = (\frac{7 ( x + 2 )}{( x + 2 ) ( 2 x - 4 )} - \frac{3 ( 2 x - 4 )}{( x + 2 ) ( 2 x - 4 )}) \cdot \frac{3 ( x ^{2} - 4 )}{2 x + 1} = \frac{7 x + 14 - 6 x + 12}{( x + 2 ) ( 2 x - 4 )} \cdot \frac{3 ( x + 2 ) ( x - 2 )}{2 x + 1} = \frac{x + 26}{2 ( x + 2 ) ( x - 2 )} \cdot \frac{3 ( x + 2 ) ( x - 2 )}{2 x + 1} = \frac{3 x + 78}{4 x + 2}$

c) Wyznaczamy dziedzinę

$x^{2} - 25 = 0 lub x - 5 = 0 lub 1 - \frac{x}{2 x - 10} = 0 lub 2 x - 10 = 0$

$(x + 5) (x - 5) = 0 lub x = 5 lub \frac{2 x - 10 - x}{2 x - 10} = 0 lub x - 5 = 0$

$x + 5 = 0 lub x = 5 lub x - 10 = 0$

$x = - 5 lub x = 5 lub x = 10$

$D = R \ {- 5, 5, 10}$

Wykonujemy działania

$(\frac{6 x}{x ^{2} - 25} - \frac{4}{x - 5}) : (1 - \frac{x}{2 x - 10}) = (\frac{6 x}{( x + 5 ) ( x - 5 )} - \frac{4}{x - 5}) : \frac{2 x - 10 - x}{2 x - 10} = (\frac{6 x}{( x + 5 ) ( x - 5 )} - \frac{4 ( x + 5 )}{( x + 5 ) ( x - 5 )}) : \frac{x - 10}{2 x - 10} = \frac{6 x - 4 x - 20}{( x + 5 ) ( x - 5 )} \cdot \frac{2 ( x - 5 )}{x - 10} = \frac{2 x - 20}{( x + 5 ) ( x - 5 )} \cdot \frac{2 ( x - 5 )}{x - 10} = \frac{4 ( x - 10 )}{( x + 5 ) ( x - 10 )} = \frac{4}{x + 5}$

d) Wyznaczamy dziedzinę

$x - 3 = 0 lub 9 - x^{2} = 0 lub \frac{2 x + 4}{3 x + 9} - 1 = 0 lub 3 x + 9 = 0$

$x = 3 lub (3 - x) (3 + x) = 0 lub \frac{2 x + 4 - 3 x - 9}{3 x + 9} = 0 lub x + 3 = 0$

$x = 3 lub x = - 3 lub - x - 5 = 0$

$x = 3 lub x = - 3 lub x = - 5$

$D = R \ {- 5, - 3, 3}$

Wykonujemy działania

$(\frac{1}{x - 3} - \frac{2}{9 - x ^{2}}) : (\frac{2 x + 4}{3 x + 9} - 1) = (\frac{1}{x - 3} + \frac{2}{x ^{2} - 9}) : \frac{2 x + 4 - 3 x - 9}{3 x + 9} = (\frac{1}{x - 3} + \frac{2}{( x - 3 ) ( x + 3 )}) : \frac{- x - 5}{3 x + 9} = (\frac{x + 3}{( x - 3 ) ( x + 3 )} + \frac{2}{( x - 3 ) ( x + 3 )}) \cdot \frac{3 x + 9}{- x - 5} = \frac{x + 3 + 2}{( x - 3 ) ( x + 3 )} \cdot \frac{3 x + 9}{- ( x + 5 )} = \frac{x + 5}{( x - 3 ) ( x + 3 )} \cdot \frac{3 ( x + 3 )}{- ( x + 5 )} = \frac{3}{- x + 3}$

e) Wyznaczamy dziedzinę

$x^{3} - 1 = 0 lub Δ < 0 x^{2} + x + 1 = 0 lub x^{2} + x = 0$

$x^{3} = 1 lub x (x + 1) = 0$

$x = 1 lub x = 0 lub x = - 1$

$D = R \ {- 1, 0, 1}$

Wykonujemy działania

$(\frac{2 x ^{2} + x}{x ^{3} - 1} - \frac{x + 1}{x ^{2} + x + 1}) \cdot \frac{x ^{2} - 2 x + 1}{x ^{2} + x} = (\frac{x ( 2 x + 1 )}{( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )} - \frac{x + 1}{x ^{2} + x + 1}) \cdot \frac{( x - 1 ) ^{2}}{x ( x + 1 )} = (\frac{x ( 2 x + 1 )}{( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )} - \frac{( x + 1 ) ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )}) \cdot \frac{( x - 1 ) ^{2}}{x ( x + 1 )} = \frac{2 x ^{2} + x - x ^{2} + 1}{( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )} \cdot \frac{( x - 1 ) ^{2}}{x ( x + 1 )} = \frac{x ^{2} + x + 1}{( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )} \cdot \frac{( x - 1 ) ^{2}}{x ( x + 1 )} = \frac{x - 1}{x ( x + 1 )}$

f) Wyznaczamy dziedzinę

$x + 1 = 0 lub Δ < 0 x^{2} - x + 1 = 0 lub x^{3} + 1 = 0$

$x = - 1$

$D = R \ {- 1}$

Wykonujemy działania

$(\frac{1}{x + 1} + \frac{3}{x ^{2} - x + 1} - \frac{3}{x ^{3} + 1}) \cdot (x - \frac{2 x - 1}{x + 1}) = (\frac{1}{x + 1} + \frac{3}{x ^{2} - x + 1} - \frac{3}{( x + 1 ) ( x ^{2} - x + 1 )}) \cdot (\frac{x ( x + 1 )}{x + 1} - \frac{2 x - 1}{x + 1}) = (\frac{x ^{2} - x + 1}{( x + 1 ) ( x ^{2} - x + 1 )} + \frac{3 ( x + 1 )}{( x + 1 ) ( x ^{2} - x + 1 )} - \frac{3}{( x + 1 ) ( x ^{2} - x + 1 )}) \cdot \frac{x ^{2} + x - 2 x + 1}{x + 1} = \frac{x ^{2} - x + 1 + 3 x + 3 - 3}{( x + 1 ) ( x ^{2} - x + 1 )} \cdot \frac{x ^{2} - x + 1}{x + 1} = \frac{x ^{2} + 2 x + 1}{( x + 1 ) ( x ^{2} - x + 1 )} \cdot \frac{x ^{2} - x + 1}{x + 1} = \frac{( x + 1 ) ^{2}}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1} = 1$