$\text{a)}{x}^2+\left(m-1\right)x+4=0$  

Równanie kwadratowe nie ma pierwiastków, gdy:

$\Delta <0$  

${\left(m-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot 4<0$  

${\left(m-1\right)}^2-16<0$  

${\left(m-1\right)}^2<16\mid \sqrt{}$  

$\left|m-1\right|<4$  

$-4<m-1<4\mid +1$  

$-3<m<5$  

$m\in \left(-3,5\right)$  

---

$\text{b)}{x}^2-2\left(m-1\right)x+2m^2-7=0$  

Równanie kwadratowe nie ma pierwiastków, gdy:

$\Delta <0$  

${\left[-2\left(m-1\right)\right]}^2-4\cdot 1\cdot \left(2m^2-7\right)<0$  

$4{\left(m-1\right)}^2-4\left(2m^2-7\right)<0\mid :4$  

${\left(m-1\right)}^2-\left(2m^2-7\right)<0$  

$m^2-2m+1-2m^2+7<0$  

$-m^2-2m+8<0\mid \cdot \left(-1\right)$  

$m^2+2m-8>0$  

${\Delta }_m=2+32=36,\sqrt{{\Delta }_m}=6$  

$m_1=\frac{-2-6}{2}=\frac{-8}{2}=-4$  

$m_2=\frac{-2+6}{2}=\frac{4}{2}=2$  

Z rysunku odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$m\in \left(-\infty ,-4\right)\cup \left(2,+\infty \right)$  

---

$\text{c)}{x}^2+2\left(m-1\right)x+m+5=0$  

Równanie kwadratowe nie ma pierwiastków, gdy:

$\Delta <0$  

${\left[2\left(m-1\right)\right]}^2-4\cdot 1\cdot \left(m+5\right)<0$  

$4{\left(m-1\right)}^2-4\left(m+5\right)<0\mid :4$  

${\left(m-1\right)}^2-\left(m+5\right)<0$  

$m^2-2m+1-m-5<0$  

$m^2-3m-4<0$  

${\Delta }_m=9+16=25,\sqrt{{\Delta }_m}=5$  

$m_1=\frac{3-5}{2}=\frac{-2}{2}=-1$  

$m_2=\frac{3+5}{2}=\frac{8}{2}=4$  

Z rysunku odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$m\in \left(-1,4\right)$  

---

$\text{d)}\left(m-1\right)x^2+\left(m-1\right)x+m+1=0$  

Równanie może być kwadratowe lub liniowe (w zależności od współczynnika przy x²), więc rozważymy dwa przypadki.

• $m=1$  

Wówczas równanie jest liniowe i przyjmuje postać:

$0\cdot x^2+0\cdot x+1+1=0$  

$2=0$  

Równanie jest sprzeczne, czyli nie ma rozwiązań. Zatem m=1 spełnia warunki zadania

• $m\ne 1$  

Wówczas równanie jest kwadratowe i przyjmuje postać:

$\left(m-1\right)x^2+\left(m-1\right)x+m+1=0$  

Równanie kwadratowe nie ma pierwiastków, gdy:

$\Delta <0$  

${\left(m-1\right)}^2-4\left(m-1\right)\left(m+1\right)<0$  

Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.

$\left(m-1\right)\left[m-1-4\left(m+1\right)\right]<0$  

$\left(m-1\right)\left(m-1-4m-4\right)<0$  

$\left(m-1\right)\left(-3m-5\right)<0\mid \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)$  

$\left(m-1\right)\left(m+\frac{5}{3}\right)>0$  

Z rysunku odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$m\in \left(-\infty ,-\frac{5}{3}\right)\cup \left(1,+\infty \right)$  

Łącząc przypadek liniowy i kwadratowy otrzymujemy, ze równanie nie ma pierwiastków, gdy:

$m=1\text{lub}m\in \left(-\infty ,-\frac{5}{3}\right)\cup \left(1,+\infty \right)$  

$m\in \left(-\infty ,-\frac{5}{3}\right)\cup ⟨1,+\infty )$