a) Liczba -¹/₂ jest pierwiastkiem wielomianu W, więc:

$W\left(-\frac{1}{2}\right)=0$  

$m\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^3+16\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^2-7\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)-6=0$  

$m\cdot \left(-\frac{1}{8}\right)+16\cdot \frac{1}{4}+\frac{7}{2}-6=0$  

$-\frac{1}{8}m+4+3,5-6=0$  

$-\frac{1}{8}m+1,5=0$  

$-\frac{1}{8}m=-1,5\mid \cdot \left(-8\right)$  

$m=12$  

Dla m=12 wielomian W przyjmuje postać:

$W\left(x\right)=12x^3+16x^2-7x-6$  

---

Liczba -¹/₂ jest pierwiastkiem wielomianu W, więc wielomian jest podzielny przez dwumian x+¹/₂.

Wykonujemy dzielenie W(x):(x+¹/₂), stosując schemat Hornera.

	12	16	-7	-6
-1/2		-6	-5	6
	12	10	-12	0

---

Otrzymujemy:

$W\left(x\right):\left(x+\frac{1}{2}\right)=12x^2+10x-12$  

Zatem:

$W\left(x\right)=\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(12x^2+10x-12\right)$  

Obliczamy pierwiastki trójmianu y=12x²+10x-12:

$\Delta =100+576=676,\sqrt{\Delta }=26$  

$x=\frac{-10-26}{24}=\frac{-36}{24}=-\frac{3}{2}\text{lub}x=\frac{-10+26}{24}=\frac{16}{24}=\frac{2}{3}$  

Mamy więc:

$12x^2+10x-12=12\left(x+\frac{3}{2}\right)\left(x-\frac{2}{3}\right)$  

I wówczas:

$W\left(x\right)=\left(x+\frac{1}{2}\right)\cdot 12\left(x+\frac{3}{2}\right)\left(x-\frac{2}{3}\right)=12\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{3}{2}\right)\left(x-\frac{2}{3}\right)=2\left(x+\frac{1}{2}\right)\cdot 2\left(x+\frac{3}{2}\right)\cdot 3\left(x-\frac{2}{3}\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+3\right)\left(3x-2\right)$  

---

---

b) Liczba ³/₂ jest pierwiastkiem wielomianu W, więc:

$W\left(\frac{3}{2}\right)=0$  

$m\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^3-3\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^2-m\cdot \frac{3}{2}+3=0$  

$m\cdot \frac{27}{8}-3\cdot \frac{9}{4}-\frac{3}{2}m+3=0\mid \cdot 8$  

$27m-54-12m+24=0$  

$15m-30=0$  

$15m=30\mid :15$  

$m=2$  

Dla m=2 wielomian W przyjmuje postać:

$W\left(x\right)=2x^3-3x^2-2x+3$  

---

Rozkładamy wielomian na czynniki, stosując metodę grupowania wyrazów:

$W\left(x\right)=2x^3-3x^2-2x+3=$  

$=x^2\left(2x-3\right)-\left(2x-3\right)=$  

$=\left(2x-3\right)\left(x^2-1\right)=$  

$=\left(2x-3\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)$  

---

---

c) Liczba 7 jest pierwiastkiem wielomianu W, więc:

$W\left(7\right)=0$  

$7^3-3m\cdot 7^2+5m\cdot 7-7=0\mid :7$  

$7^2-3m\cdot 7+5m-1=0$  

$49-21m+5m-1=0$  

$-16m+48=0$  

$16m=48\mid :16$  

$m=3$  

Dla m=3 wielomian W przyjmuje postać:

$W\left(x\right)=x^3-3\cdot 3x^2+5\cdot 3x-7=x^3-9x^2+15x-7$  

---

Liczba 7 jest pierwiastkiem wielomianu W, więc wielomian jest podzielny przez dwumian x-7.

Wykonujemy dzielenie W(x):(x-7), stosując schemat Hornera.

	1	-9	15	-7
7		7	-14	7
	1	-2	1	0

---

Otrzymujemy:

$W\left(x\right):\left(x-7\right)=x^2-2x+1$  

Zatem:

$W\left(x\right)=\left(x-7\right)\left(x^2-2x+1\right)=\left(x-7\right){\left(x-1\right)}^2$  

---

---

d) Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu W, więc:

$W\left(2\right)=0$  

$5\cdot 2^3-2^2-5m\cdot 2+m=0$  

$5\cdot 8-4-10m+m=0$  

$40-4-9m=0$  

$36=9m\mid :9$  

$m=4$  

---

Dla m=4 wielomian W przyjmuje postać:

$W\left(x\right)=5x^3-x^2-5\cdot 4x+4=5x^3-x^2-20x+4$  

---

Rozkładamy wielomian na czynniki, stosując metodę grupowania wyrazów:

$W\left(x\right)=5x^3-x^2-20x+4$  

$=x^2\left(5x-1\right)-4\left(5x-1\right)=$  

$=\left(5x-1\right)\left(x^2-4\right)=$  

$=\left(5x-1\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)$