a)

Rozpiszmy korzystaj ze wzoru skróconego mnożenia.

${\left(\sqrt{6}-\sqrt{3}\right)}^2+6\sqrt{2}={\sqrt{6}}^2-2\cdot \sqrt{6}\cdot \sqrt{3}+{\sqrt{3}}^2+6\sqrt{2}=6-2\sqrt{18}+3+6\sqrt{2}=9-2\cdot \sqrt{9\cdot 2}+6\sqrt{2}=9-2\cdot 3\sqrt{2}+6\sqrt{2}=9-6\sqrt{2}+6\sqrt{2}=9$

Jest to liczba naturalna, co należało wykazać.

b)

Rozpiszmy korzystaj ze wzoru skróconego mnożenia.

${\left(\sqrt{10}+\sqrt{2}\right)}^2-4\sqrt{5}={\sqrt{10}}^2+2\cdot \sqrt{10}\cdot \sqrt{2}+{\sqrt{2}}^2-4\sqrt{5}=10+2\sqrt{20}+2-4\sqrt{5}=12+2\sqrt{4\cdot 5}-4\sqrt{5}=12+2\cdot 2\sqrt{5}-4\sqrt{5}=12+4\sqrt{5}-4\sqrt{5}=12$

Jest to liczba naturalna, co należało wykazać.

c)

Usuńmy niewymierność z mianownika ułamka.

$\frac{1}{\sqrt{8}+3}+\sqrt{8}+3=\frac{1}{\sqrt{8}+3}\cdot \frac{\sqrt{8}-3}{\sqrt{8}+3}+\sqrt{8}+3=\frac{\sqrt{8}-3}{{\sqrt{8}}^2-3^2}+\sqrt{8}+3=\frac{\sqrt{8}-3}{8-9}+\sqrt{8}+3=\frac{\sqrt{8}-3}{-1}+\sqrt{8}+3=-\sqrt{8}+3+\sqrt{8}+3=6$

Jest to liczba naturalna, co należało wykazać.

d)

Usuńmy niewymierność z mianownika ułamka.

$\frac{1}{\sqrt{3}-1}+\frac{1-\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}-1}\cdot \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}+\frac{1-\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}+1}{{\sqrt{3}}^2-1^2}+\frac{1-\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}+1}{3-1}+\frac{1-\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}+\frac{1-\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}+1+1-\sqrt{3}}{2}=\frac{2}{2}=1$

Jest to liczba naturalna, co należało wykazać.