a)

Rozpiszmy lewą stronę równania

${\log }_{27}9+{\log }_{27}243+{\log }_{27}{3}^8={\log }_{27}\left(9\cdot 243\cdot 3^8\right)={\log }_{27}\left(3^2\cdot 3^5\cdot 3^8\right)={\log }_{27}{3}^{15}={\log }_{27}{\left(3^3\right)}^5={\log }_{27}27^5=5$

A wiec udowodniliśmy, ze prawa strona równania równa się lewej.

---

b)

Rozpiszmy lewą stronę równania

$\log 2+\log \frac{3}{2}+\log \frac{4}{3}+\cdots +\log \frac{10}{9}=\log \left(2\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{5}{4}\cdot \dots \cdot \frac{10}{9}\right)=\log \left(\cancel{2}\cdot \frac{\cancel{3}}{\cancel{2}}\cdot \frac{\cancel{4}}{\cancel{3}}\cdot \frac{\cancel{5}}{\cancel{4}}\cdot \dots \cdot \frac{10}{\cancel{9}}\right)=\log 10=1$

A wiec udowodniliśmy, ze prawa strona równania równa się lewej.

---

c)

Rozpiszmy lewą stronę równania

$16^{{\log }_2\sqrt[4]{2}+{\log }_{4}3}=16^{{\log }_2\sqrt[4]{2}}\cdot 16^{{\log }_{4}3}={\left(2^4\right)}^{{\log }_2{2}^{\frac{1}{4}}}\cdot (4^2{)}^{{\log }_{4}3}=2^{4{\log }_2{2}^{\frac{1}{4}}}\cdot 4^{2{\log }_{4}3}=2^{4\cdot \frac{1}{4}{\log }_{2}2}\cdot 4^{{\log }_4{3}^2}=2^{{\log }_{2}2}\cdot 3^2=2\cdot 9=18$

A wiec udowodniliśmy, ze prawa strona równania równa się lewej.