a)

Skoro zbiór $Y_f$ jest zbiorem wartości funkcji, to znaczy, że parabola będąca wykresem ma ramiona skierowane w dół oraz $y_W=6$. Znamy dwa miejsca zerowe tej funkcji

$x_1=-1,x_2=7$

Stąd ze wzoru możemy policzyć

$x_W=\frac{-1+7}{2}=\frac{6}{2}=3$

Otrzymaliśmy wierzchołek paraboli $W=\left(3,6\right)$. Zapiszmy wzór funkcji w postaci kanonicznej

$f\left(x\right)=a{\left(x-3\right)}^2+6$

Wykorzystajmy jedną z podanych równości, na przykład

$$\begin{gathered} f\left(-1\right)=0 \\ a{\left(-1-3\right)}^2+6=0 \\ 16a+6=0 \\ 16a=-6 \\ a=-\frac{3}{8} \end{gathered}$$

Zapiszmy wzór funkcji.

$f\left(x\right)=-\frac{3}{8}{\left(x-3\right)}^2+6$

---

b)

Skoro zbiór $Y_f$ jest zbiorem wartości funkcji, to znaczy, że parabola będąca wykresem ma ramiona skierowane w górę oraz $y_W=-8$. Znamy dwa miejsca zerowe tej funkcji

$x_1=2,x_2=5$

Stąd ze wzoru możemy policzyć

$x_W=\frac{2+5}{2}=\frac{7}{2}$

Otrzymaliśmy wierzchołek paraboli $W=\left(\frac{7}{2},-8\right)$. Zapiszmy wzór funkcji w postaci kanonicznej

$f\left(x\right)=a{\left(x-\frac{7}{2}\right)}^2-8$

Wykorzystajmy jedną z podanych równości, na przykład

$$\begin{gathered} f\left(2\right)=0 \\ a{\left(2-\frac{7}{2}\right)}^2-8=0 \\ \frac{9}{4}a=8 \\ 9a=32 \\ a=\frac{32}{9} \end{gathered}$$

Zapiszmy wzór funkcji.

$f\left(x\right)=\frac{32}{9}{\left(x-\frac{7}{2}\right)}^2-8$

---

c)

Skoro zbiór $Y_f$ jest zbiorem wartości funkcji, to znaczy, że parabola będąca wykresem ma ramiona skierowane w dół oraz $y_W=5$. Znamy dwa punkty, które są położone symetrycznie na paraboli (ponieważ mają tą samą współrzędną $y$). Oznacza to, że możemy obliczyć pierwszą współrzędną wierzchołka, przez który przechodzi oś symetrii paraboli.

$x_W=\frac{2+8}{2}=\frac{10}{2}=5$

Otrzymaliśmy wierzchołek paraboli $W=\left(5,5\right)$. Zapiszmy wzór funkcji w postaci kanonicznej

$f\left(x\right)=a{\left(x-5\right)}^2+5$

Wykorzystajmy jedną z podanych równości, na przykład

$$\begin{gathered} f\left(2\right)=2 \\ a{\left(2-5\right)}^2+5=2 \\ 9a+5=2 \\ 9a=-3 \\ a=-\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Zapiszmy wzór funkcji.

$f\left(x\right)=-\frac{1}{3}{\left(x-5\right)}^2+5$

---

d)

Skoro zbiór $Y_f$ jest zbiorem wartości funkcji, to znaczy, że parabola będąca wykresem ma ramiona skierowane w górę oraz $y_W=-5$. Znamy dwa punkty, które są położone symetrycznie na paraboli (ponieważ mają tą samą współrzędną $y$). Oznacza to, że możemy obliczyć pierwszą współrzędną wierzchołka, przez który przechodzi oś symetrii paraboli.

$x_W=\frac{-4+2}{2}=\frac{-2}{2}=-1$

Otrzymaliśmy wierzchołek paraboli $W=\left(-1,-5\right)$. Zapiszmy wzór funkcji w postaci kanonicznej

$f\left(x\right)=a{\left(x+1\right)}^2-5$

Wykorzystajmy jedną z podanych równości, na przykład

$$\begin{gathered} f\left(2\right)=-1 \\ a{\left(2+1\right)}^2-5=-1 \\ 9a-5=-1 \\ 9a=4 \\ a=\frac{4}{9} \end{gathered}$$

Zapiszmy wzór funkcji.

$f\left(x\right)=\frac{4}{9}{\left(x+1\right)}^2-5$